Najprv zaveďme súradnicovú sústavu. Označme $x$ ako smer drôtu, $y$ ako smer, v ktorom je nádhrelník, a $z$ ako smer kolmý na rovinu náhrdelníka. Taktiež označme $Y$ ako najmenšiu vzdialenosť medzi vodičom a náhrdelníkom. Podľa Pytagorovej vety platí $Y = \sqrt{H^2 + d^2}$

Ampérov zákon hovorí, že v okolí akéhokoľvek elektrického prúdu vzniká magnetické pole. Keď okamžitý prúd $I(t)$ tečie nekonečne dlhým vodičom kruhového priemeru, tak vo vzdialenosti $r$ vytvorí magnetickú indukciu veľkosti $$ B(t) = \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi r}, $$ {#eq:421107:ampere} kde $\mu_0$ označuje permeabilitu vákua. Toto pole “krúži” okolo vodiča, teda v rovine $xy$ smeruje v osi $z$.

Keďže sa $I(t)$ mení v čase, tak sa v čase mení aj $B(t)$. Podľa Faradayovho zákona, meniace sa magnetické pole indukuje napätie na uzavretých vodičoch. Konkrétne, na vodiči, ktorý tvorí hranicu plochy $S$ (konštantnej v čase), sa indukuje napätie $$ U(t) = \frac{\partial}{\partial t} \iint_S B(t) \sin(\theta) \mathrm{d} S. $$

V tejto rovnici $\frac{\partial}{\partial t}$ označuje parciálnu deriváciu podľa času. To znamená, že určuje, ako rýchlo sa mení hodnota výrazu za ňou. $\iint_S$ označuje plošný integrál cez plochu $S$. To si vieme predstaviť tak, že túto plochu rozdelíme na veľmi malé kúsky (elementy), na každom kúsku vypočítame hodnotu $B(t) \sin(\theta) \mathrm{d} S$ a všetky výsledky sčítame. $B(t)$ označuje magnetickú indukciu v mieste tohto kúsku, $\theta$ označuje uhol, ktorý zviera smer magnetickej indukcie s kúskom plochy a $\mathrm{d} S$ je obsah tohto kúsku.

Nás zaujíma, čo sa bude diať s Lujziným náhrdelníkom. Poďme teda zistiť napätie na ňom. $S$ sa dá popísať ako plocha, pre ktorú platí $0 \leq x \leq a$ a $Y \leq y \leq Y + a$. Našu plochu môžeme rozdeliť na takú malú “mriežku” podľa týchto dvoch súradníc.

Ak rozmery jednotlivých kúskov budú $\mathrm{d} x, \mathrm{d} y$, tak potom $\mathrm{d}S = \mathrm{d}x \mathrm{d}y$. Taktiež, namiesto sčítavania kúskov všeobecne, ich najprv sčítame po riadkoch a potom po stĺpcoch. To sa dá zapísať tak, že jeden plošný integrál “rozbijeme” na dva jednoduché integrály $$ \iint_S B(t) \sin(\theta) \mathrm{d} S = \int_Y^{Y+a} \int_0^a B(t) \sin(\theta) \mathrm{d} x \mathrm{d} y. $$

Magnetické pole bude vždy kolmé na túto plochu, čiže $\sin(\theta)=1$. Vzdialenosť od vodiča je $y$, teda môžeme vyjadriť $B$ na základe [-@eq:421107:ampere] ako $$ \int_Y^{Y+a} \int_0^a B(t) \sin(\theta) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_Y^{Y+a} \int_0^a \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y. $$ Keďže integrovaný výraz nezávisí od $x$, vnútorný integrál je iba integrál konštanty. Všimnime si, že ostávajúci integrál je iba konštanta vydelená $y$, teda môžeme využiť nápovedu zo zadania $$ \int_Y^{Y+a} \int_0^a \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_Y^{Y+a} \frac{\mu_0 I(t) a}{2 \pi y} \mathrm{d} y = \left[\frac{\mu_0 I(t) a}{2 \pi} \ln(y) \right]_Y^{Y+a} = \frac{\mu_0 I(t) a}{2 \pi} \ln\left(1 + \frac{a}{Y}\right). $$ Dosadením tohto výsledku do Faradayovho zákona dostaneme $$ U(t) = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\mu_0 I(t) a}{2 \pi} \ln\left(1 + \frac{a}{Y}\right) = \frac{\mu_0 a}{2 \pi} \ln\left(1 + \frac{a}{\sqrt{H^2 + d^2}}\right) \frac{\diff I(t)}{\diff t}. $$

Označme $\rho$ ako rezistivitu striebra. Náhrdelník je vodič s obsahom prierezu $S=\pi h^2$ kde $h$ je polomer a dĺžkou $\ell = 4a$, teda jeho odpor môžeme zobrať $$ R = \rho \frac{\ell}{S} = \frac{4\rho a}{\pi h^2}. $$

Indukované napätie v ňom podľa Ohmovho zákona vytvorí prúd $$ I'(t) = \frac{U(t)}{R} = \frac{\mu_0 h^2}{8\rho} \ln\left(1 + \frac{a}{\sqrt{H^2 + d^2}}\right) \frac{\diff I(t)}{\diff t}. $$ {#eq:421107:sqcurrent}

Na každý vodič, ktorým tečie prúd $I'$ v homogénnom magnetickom poli, však pôsobí Lorentzova sila veľkosti $$ \mathbf{F} = I \vec{\ell} \times \vec{B}. $$

Všimnime si, že strany náhrdelníka kolmé na vodič sú v rovnakom magnetickom poli, ale majú prúd v opačnom smere. Teda sily, ktoré na ne pôsobia, sú navzájom opačné a ich výslednica je nulová. Zaujímavé sú strany, ktoré sú rovnobežné s vodičom. Nimi síce tiež tečie rovnaký prúd, ale keďže jedna strana je ďalej, pôsobí na ňu slabšie magnetické pole. Na bližšiu stranu pôsobí sila $F_1$ a na vzdialenejšiu sila $F_2$ $${ F_1(t) &= I'(t) a B_1 = I'(t) a \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi Y}\\ F_2(t) &= I'(t) a B_2 = I'(t) a \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi (Y+a)}. }$$ Celková veľkosť sily pôsobiacej na náhrdelník je preto $${ F(t) &= F_1(t) - F_2(t) = I'(t) a \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi Y} - I'(t)a \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi (Y+a)} \\ &= \frac{a \mu_0 I(t) I'(t)}{2 \pi} \left(\frac{1}{Y} - \frac{1}{Y+a}\right) = \frac{a^2 \mu_0 I(t) I'(t)}{2 \pi Y(Y+a)} }$$ Keď dosadíme vzťah pre $Y$ a [-@eq:421107:sqcurrent], tak dostaneme $$ \frac{a^2 \mu_0^2 I(t) h^2}{16 \pi \rho \sqrt{H^2 + d^2}\left(\sqrt{H^2 + d^2}+a\right)} \ln\left(1 + \frac{a}{\sqrt{H^2 + d^2}}\right) \frac{\partial I(t)}{\partial t}. $$

Pri striedavom prúde môžeme vo všeobecnosti vyjadriť okamžitý prúd ako $$ I(t) = I \sin(2\pi f t + \varphi), $$ kde $t$ označuje čas, $f$ označuje frekvenciu prúdu a $\varphi$ označuje jeho počiatočnú fázu. Potom $$ \frac{\partial I(t)}{\partial t} = 2\pi f I \cos(2\pi f t + \varphi). $$

Dosadením týchto dvoch výrazov do vzťahu pre celkovú okamžitú silu a využitím goniometrickej identity pre súčin sínusu a kosínusu dostaneme $$ F(t) = \frac{a^2 \mu_0^2 h^2 f I^2}{16 \rho \sqrt{H^2 + d^2}(\sqrt{H^2 + d^2}+a)} \ln\left(1 + \frac{a}{\sqrt{H^2 + d^2}}\right) \sin(4\pi f t + 2\varphi). $$