Najprv si vyjasnime, s čím vlastne pracujeme. Naše domino má štvorcovú podstavu so stranou $a$, výšku $h$ a hmotnosť $m$. Keďže je celé z jedného materiálu, jeho ťažisko leží presne v strede, teda vo výške $\frac{h}{2}$. Budeme ešte potrebovať vzdialenosť ťažiska od spodnej hrany domina, ktorú si označíme $r$. Tú si vieme vypočítať z Pytagorovej vety, keďže ťažisko je nad stredom podstavy vo výške $\frac{h}{2}$ a hrana je od stredu podstavy vzdialená $\frac{a}{2}$, takže $$ r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + h^2}. $$

Kedy vlastne domino začne padať? Keď ho vychýlime len trošku, tak sa samo vráti späť. Padať začne až vtedy, keď ho nakloníme tak, že sa jeho ťažisko dostane presne nad spodnú hranu, okolo ktorej sa prevracia, a potom ešte kúsok za ňu. Domino sa tak správa ako prevrátené kyvadlo: ťažisko je akoby na tyči dĺžky $r$, ktorá je upevnená v spodnej hrane. Jeho polohu preto budeme opisovať rovnako ako pri kyvadle, a to uhlom $\alpha$, o ktorý je táto „tyč”, teda spojnica spodnej hrany s ťažiskom, vychýlená od zvislice. Na začiatku pádu je ťažisko skoro presne nad hranou, takže $\alpha$ je takmer nulová.

Začnime podložkou bez trenia. Aké sily na domino pôsobia v tomto prípade? Sú len dve. Prvou je tiažová sila $m\vec{g}$, ktorá pôsobí v ťažisku a ťahá domino nadol. Druhou je normálová sila $\vec{N}$, ktorou podložka tlačí na domino v mieste, kde sa jej dotýka.

Obe tieto sily sú zvislé. A keďže trenie nemáme, tak na domino nepôsobí vodorovne vôbec nič. Čo to pre nás ale znamená? Ak na teleso nepôsobí vodorovne žiadna sila, jeho ťažisko sa vodorovne nemôže rozbehnúť. A keďže domino na začiatku stálo na mieste, tak sa jeho ťažisko vodorovne nepohne ani o kúsok. Ťažisko teda padá po zvislej priamke, a to z výšky $r$ až do výšky $\frac{a}{2}$, keď už domino leží na zemi.

Možno vám napadne, ako je to možné, keď sa domino pri páde zároveň aj otáča. Odpoveď je jednoduchá. Spodná hrana domina sa musí šmýkať dozadu, teda opačným smerom, ako padá jeho vrch. Domino nám tak podstavu doslova vystrelí spod seba.

A čo momenty síl? Tie si tu vypočítame vzhľadom na ťažisko, keďže to je jediný bod domina, ktorý sa nám pekne hýbe po priamke. Tiažová sila pôsobí priamo v ťažisku, takže jej rameno je nulové a žiadny moment nedáva. Všetko teda robí normálová sila, ktorej rameno je vodorovná vzdialenosť dotykovej hrany od ťažiska, teda $d = r\sin\alpha$. Moment sily je potom $$ M = Nd = Nr\sin\alpha. $$ Na začiatku je $\alpha$ skoro nulová, takže aj rameno je skoro nulové a s ním aj moment sily. Práve preto sa nám domino rozbieha tak pomaly a padá zo začiatku skoro nebadateľne.

Teraz sa pozrime na podložku s veľkým trením. Oproti prvému prípadu nám pribudne ešte jedna sila, a to trecia sila $\vec{F}_t$, ktorá pôsobí vodorovne v mieste dotyku. Na obrázku je nakreslená tak, ako pôsobí na začiatku pádu.

Práve táto sila drží spodnú hranu na mieste, takže sa nepošmykne a domino sa jednoducho otáča okolo nej ako okolo pevnej osi. Tentoraz si preto momenty síl vypočítame vzhľadom na túto hranu. Normálová aj trecia sila pôsobia priamo v nej, takže ich rameno je nulové a moment nedávajú. Celý moment tak dáva tiažová sila, ktorej rameno je opäť vodorovná vzdialenosť od osi otáčania, teda $r\sin\alpha$, takže $$ M = mgr\sin\alpha. $$

Aj tu je moment sily na začiatku skoro nulový a postupne rastie. Preto sa domino rozbieha pomaly a potom padá čoraz rýchlejšie.

A trajektória ťažiska? Tá je teraz úplne iná. Spodná hrana sa nehýbe a ťažisko je od nej stále v rovnakej vzdialenosti $r$. Ťažisko sa teda pohybuje po kružnicovom oblúku s polomerom $r$ a stredom v spodnej hrane.

Ktorý prípad je teda horší? Na podložke bez trenia pôsobia na domino len dve zvislé sily, moment mu dáva normálová sila a ťažisko padá po zvislej priamke. Na podložke s veľkým trením pribudne trecia sila, moment dáva tiažová sila a ťažisko sa pohybuje po kružnicovom oblúku. Bez trenia teda domino spadne akoby do seba a jeho vrch nedoletí dopredu, takže do ďalšej kocky v rade by poriadne nenarazilo. Andrej (alebo Kubo) mal teda pravdu a Kubo (alebo Andrej) môže byť rád, že mu to aspoň občas vydrží.

A tu máme trochu rozšírený vzorák pre pravých fyzikálnych fajnšmekrov, ktorí by chceli niečo viac do náročnejšej rotačnej mechaniky:

Ak vás zaujíma, ako rýchlo sa nám to domino vlastne otáča a aká veľká musí byť tá trecia sila, tak sa na to poďme pozrieť. Namiesto uhla $\alpha$ budeme teraz používať obvyklý uhol naklonenia $\varphi$, teda uhol, o ktorý je os domina odklonená od zvislice.

Najprv si povedzme, kedy vlastne to domino začne padať. Ťažisko je nad spodnou hranou vo výške $\frac{h}{2}$ a vodorovne od nej vzdialené $\frac{a}{2}$, takže domino musí byť voči zvislici naklonené o uhol $\theta_0$, pre ktorý platí $$ \tan\theta_0 = \frac{a/2}{h/2} = \frac{a}{h}. $$ Pre tenké domino je $\theta_0$ naozaj len pár stupňov, napríklad pre $a = \SI{8}{\milli\metre}$ a $h = \qty{45}{\milli\metre}$ vychádza $\theta_0 \approx \ang{10}$. Spojnica spodnej hrany s ťažiskom zviera s osou domina práve uhol $\theta_0$, takže od zvislice je odklonená o $\varphi - \theta_0$. To je presne náš uhol $\alpha$ z predošlej časti a rameno tiažovej sily vzhľadom na hranu je $r\sin\left(\varphi - \theta_0\right)$. Budeme predpokladať, že domino začína padať pri $\varphi \approx \theta_0$ a skoro nulovej rýchlosti.

Ďalej budeme potrebovať moment zotrvačnosti domina vzhľadom na os, ktorá ide cez ťažisko rovnobežne so spodnou hranou (vzťah preň vieme nájsť pre kváder aj voľne na internete), $$ I_T = \frac{1}{12}m\left(a^2 + h^2\right) = \frac{1}{3}mr^2. $$

Začnime opäť podložkou bez trenia. Domino sa otáča uhlovou rýchlosťou $\omega$ a jeho ťažisko padá rýchlosťou $v_T$. Tieto dve rýchlosti spolu súvisia. Voči ťažisku sa spodná hrana pohybuje po kružnici s polomerom $r$ rýchlosťou $\omega r$, ktorá je kolmá na spojnicu hrany s ťažiskom. Zvislá zložka tejto rýchlosti je $\omega r\sin\left(\varphi - \theta_0\right)$. Keďže hrana zostáva na podložke a zvislo sa nehýbe, musí ťažisko padať presne touto rýchlosťou, teda $$ v_T = \omega r\sin\left(\varphi - \theta_0\right). $$ Kinetická energia sa skladá z posuvného a otáčavého pohybu a ťažisko kleslo o $r\left[1 - \cos\left(\varphi - \theta_0\right)\right]$, takže zo zákona zachovania energie dostaneme $$ \frac{1}{2}mv_T^2 + \frac{1}{2}I_T\omega^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2\sin^2\left(\varphi - \theta_0\right) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}mr^2\omega^2 = mgr\left[1 - \cos\left(\varphi - \theta_0\right)\right]. $$

Z toho už vieme vyjadriť uhlovú rýchlosť $$ \omega^2 = \frac{6g}{r}\cdot\frac{1 - \cos\left(\varphi - \theta_0\right)}{1 + 3\sin^2\left(\varphi - \theta_0\right)}. $$ Keby sme si z toho ďalej vyjadrili zrýchlenie $a_T$, s ktorým ťažisko klesá, a dosadili ho do $N = m\left(g - a_T\right)$, zistili by sme, že normálová sila je počas celého pádu kladná, takže domino sa od podložky naozaj neodlepí. Domino leží na zemi pri $\varphi = \ang{90}$, teda pri $\varphi - \theta_0 = \ang{90} - \theta_0$. Keby sa rozdiel $\varphi - \theta_0$ dostal až na $\ang{90}$, vyšla by normálová sila tesne pred dopadom presne $N = \frac{mg}{4}$. Pre naše domino je to však len asi $\ang{80}$ a normálová sila tesne pred dopadom vychádza približne $N \approx \frac{mg}{5}$.

Teraz sa pozrime na podložku s veľkým trením. Domino sa otáča okolo spodnej hrany, takže potrebujeme moment zotrvačnosti vzhľadom na ňu. Ten dostaneme zo Steinerovej vety $$ I = I_T + mr^2 = \frac{4}{3}mr^2. $$ Zo zákona zachovania energie $\frac{1}{2}I\omega^2 = mgr\left[1 - \cos\left(\varphi - \theta_0\right)\right]$ a z pohybovej rovnice pre otáčanie $M = I\varepsilon$ s momentom $M = mgr\sin\left(\varphi - \theta_0\right)$ si vyjadríme uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie $$ \omega^2 = \frac{3g}{2r}\left[1 - \cos\left(\varphi - \theta_0\right)\right], \qquad \varepsilon = \frac{3g}{4r}\sin\left(\varphi - \theta_0\right). $$

Keďže sa ťažisko pohybuje po kružnici, jeho zrýchlenie má dve zložky. Prvou je dostredivé zrýchlenie $a_d = \omega^2 r$, ktoré smeruje od ťažiska k hrane. Druhou je tečné zrýchlenie $a_t = \varepsilon r$, ktoré smeruje v smere pohybu, teda kolmo na spojnicu hrany s ťažiskom. Keď ich rozložíme, dostaneme vodorovné zrýchlenie ťažiska (dopredu) a zvislé zrýchlenie ťažiska (nadol) $$ a_x = \varepsilon r\cos\left(\varphi - \theta_0\right) - \omega^2 r\sin\left(\varphi - \theta_0\right), \qquad a_y = \varepsilon r\sin\left(\varphi - \theta_0\right) + \omega^2 r\cos\left(\varphi - \theta_0\right). $$

Vodorovne pôsobí na domino len trecia sila a zvislo tiažová a normálová sila, takže podľa druhého Newtonovho zákona po dosadení dostaneme $${ F_t &= ma_x = \frac{3}{4}mg\sin\left(\varphi - \theta_0\right)\left[3\cos\left(\varphi - \theta_0\right) - 2\right], \\ N &= m\left(g - a_y\right) = \frac{1}{4}mg\left[3\cos\left(\varphi - \theta_0\right) - 1\right]^2. }$$

Čo z toho vidíme? Ako prvé si môžeme všimnúť, že trenie počas pádu mení smer. Kým je $\cos\left(\varphi - \theta_0\right) > \frac{2}{3}$, t. j. zhruba do $\varphi \approx \theta_0 + \ang{48}$ (pre naše domino asi $\ang{58}$), trenie ťahá domino dopredu, teda v smere pádu. Potom sa otočí a začne brzdiť vodorovný pohyb ťažiska. Ako druhé si môžeme všimnúť, že normálová sila pri $\cos\left(\varphi - \theta_0\right) = \frac{1}{3}$, t. j. asi pri $\varphi \approx \theta_0 + \ang{70.5}$ (pre naše domino asi $\ang{80.5}$), klesne až na nulu. Záporná byť nemôže, keďže je to druhá mocnina, no trecia sila v tom bode nulová nie je. Lenže trenie, ktoré by domino potrebovalo, aby sa nepošmyklo, musí spĺňať $|F_t| \leq fN$, a keď $N$ ide k nule, tak potrebný koeficient trenia rastie nad všetky medze. V skutočnosti sa teda domino pri akomkoľvek reálnom trení ešte pred týmto uhlom predsa len pošmykne. Kružnicový oblúk teda platí len dovtedy, kým sa spodná hrana nezačne šmýkať, potom sa ťažisko od kružnice odchýli. Čím je trenie väčšie, tým dlhšie sa ťažisko na kružnici udrží.