2. Kockáči vzorové riešenie

Na začiatku tejto úlohy je dôležité zamyslieť sa nad tým, čo vlastne chceme zisťovať a čo vieme. Poznáme dva stavy, kedy kocky plávajú vo vode. Raz je na vrchu Patrik, vtedy sú obe kocky ponorené do nejakej hĺbky \(h\). Potom je navrchu Lucka a my chceme zistiť, do akej hĺbky sú kocky ponorené teraz.

Čo všetko teda vieme povedať o týchto dvoch situáciách? Kocky vždy zostanú voľne plávať vo vode. To znamená, že sú v pokoji a teda výslednica síl, ktoré na ňu pôsobia, je nulová. Na objekt ponorený v kvapaline pôsobia dve sily, gravitačná a vztlaková. Obe si môžeme vyjadriť. Vieme, že pre gravitačnú silu platí vzťah \(F_{G} = m g\) a z Archimedovho zákona vieme určiť vztlakovú silu ako \[ F_{\text{vz}} = \rho_{\text{kvapaliny}} V_{\text{ponorenej časti}} g. \]

Tieto rovnice platia rovnako pre stav na začiatku aj na konci. Keď sa na ne pozrieme, všimneme si, že viacero premenných nepoznáme, to nám ale nemusí prekážať, pretože hľadáme súvislosť medzi hĺbkou ponoru na začiatku a na konci. Lenže v oboch stavoch je veľa vecí rovnakých. Lucka a Patrik majú vždy rovnakú hmotnosť, teda vo vzorčeku pre \(F_{G}\) máme dve konštanty a aj ich súčin bude konštantný. Ak má ale platiť rovnosť \(F_{G} = F_{\text{vz}}\), potom aj sila \(F_{\text{vz}}\) musí byť konštantná.

Môžeme označiť obe sily \(F_{\text{vz}_{1}}\) a \(F_{\text{vz}_{2}}\) a po odstránení dlhých slov z dolných indexov ich postaviť do rovnosti \[ \rho_1 V_1 g_1 = \rho_2 V_2 g_2. \]

Pritom vieme, že kvapalina aj tiažové pole sú v oboch prípadoch rovnaké, takže \(\rho_1 = \rho_2\) a \(g_1 = g_2\) a z rovnosti nám zostane \(V_1 = V_2\).

Tu sa môžeme tešiť, pretože \(V_1\) vieme presne vyjadriť pomocou dĺžok strán kociek a hĺbky ponoru (ktoré poznáme) a \(V_2\) zas pomocou dĺžok strán kociek a novej neznámej hĺbky ponoru \(h_2\). Takže by sme mali vedieť vyjadriť ponor na konci len pomocou známych premenných \(a\), \(b\) a \(h\).

Zostáva nám už len trocha geometrie. Vieme, že Patrik má stranu dlhú \(a\), Lucka má stranu dlhú \(b\), hĺbku ponoru na začiatku označme \(h\) a hĺbku na konci \(h_2\). Na začiatku, keď sa Patrik položil na Lucku, mohli nastať dva stavy. Lucka mohla a nemusela byť celá ponorená. Ak nebola, \(V_{p} = b^2 h\) a ak bola, \(V_{p} = b^3 + a^2 \left(h - b\right)\). Po výmene mohli podobne nastať dva stavy: buď Patrik bol, alebo nebol celý ponorený.

Teda \(V_{p} = a^2 h_{2}\) alebo \(V_{p} = a^3 + b^2 \left(h_2 - a\right)\). Uvedomme si ešte, že ak bola Lucka na začiatku celá ponorená pod hladinou, potom Patrik, súc menšou kockou, bude po výmene určite tiež celý pod hladinou. Môžu teda nastať tri rovnosti: \[ \begin{aligned} b^2 h &= a^2 h_{2} &\qquad\Rightarrow\qquad h_{2} &= \frac{b^2 h}{a^2}, \\ b^2 h &= a^3 + b^2 \left(h_2 - a\right) &\qquad\Rightarrow\qquad h_{2} &= \frac{b^2 h - a^3 + b^2 a}{b^2}, \\ b^3 + a^2 \left(h - b\right) &= a^3 + b^2 \left(h_2 - a\right) &\qquad\Rightarrow\qquad h_{2} &= \frac{b^3 + a^2 \left(h - b\right) + b^2a - a^3}{b^2}. \end{aligned} \]

To, ktorá možnosť naozaj nastane, závisí od pomeru hustoty jednotlivých kociek a vody. Keďže nepoznáme hmotnosť ani hustotu Patrika a Lucky (len vieme, že sú hustí), nevieme s určitosťou povedať, ako to bude vyzerať.