5. Lenivý tvor vzorové riešenie

Poďme sa pozrieť na jednotlivé možné výsledky, ktoré boli v zbierke napísané a skúsiť si odôvodniť, či by mohli alebo nemohli byť správne.

\[ \begin{aligned} 1. \qquad v &\le \left(M+m\right)\sqrt{\frac{F}{M+\frac{m}{2}} - g} \cdot l^2 \end{aligned}\]

Jedným z najdôležitejších nástrojov každého fyzika na odhaľovanie nesprávnych výsledkov je rozmerová (jednotková) analýza. Napríklad . Rozmer výrazu na ľavej strane nie je ťažké určiť, sú to už spomínané metre za sekundu. Poďme sa pozrieť na výraz na pravej strane. Časť \(\left(M+m\right)\) má zjavne rozmer hmotnosti, teda kilogramy. Časť \(\sqrt{\frac{F}{M+\frac{m}{2}} - g}\) je trochu komplikovaniejšia, ale rýchlo zistíme, časť v tvare zlomku má rozmer zrýchlenia (sila deleno nejaká hmotnosť) a aj \(g\) má rozmer zrýchlenia, teda meter za sekundu štvorcovú. Celá odmocnina má teda rozmer „odmocnina z metra“ za sekundu. Už tu vidíme, že čosi nehrá, lebo odmocina z metra neznie moc dobre. Posledná časť, \(l^2\), má rozmer metrov švorcových. Celá pravá strana tak má rozmer \(\frac{kg\cdot m^2\cdot\sqrt{m}}{s}\), čo rozhodne nie sú metre za sekundu. Tento výsledok preto určite nie je správny.

\[\begin{aligned} 2. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(\frac{F}{M-m} - g\right)l} \ \end{aligned}\]

Pri druhom výsledku nám rozmerová analýza výsledku nepomôže. Obidve strany majú rozmer metrov za sekundu. Skúsime na to ísť inak. Použijeme niečo, čomu sa hovorí extrémne prípady, ďalší veľmi užitočný nástroj každého fyzika. Niečo je nulové, veľmi veľké (ba priam nekonečné) alebo naopak malé… Extrémne prípady môžu byť niekoľkých typov a ako sa neskôr ukáže, viacero z nich použijeme pri riešení. Preto sa teraz budeme sústrediť len na jeden. Konkrétne sa pozrieme, čo by sa dialo, keby mal projektil rovnakú hmotnosť, ako kvádrik? Taká situácia je úplne reálna, prečo by nemohol mať? Problémom tohoto vzorca je však, že ak \(m=M\) tak zlomková časť pod odmocninou má v menovateli nulu. Teda by celá táto odmocnina išla teoreticky „do nekonečna“. Teda by sme dostali \(v\leq \infty\). Čiže rýchlosť by mohla byť ľubovoľná. Ale asi by sme očakávali, že aj pre túto situáciu bude existovať nejaká rýchlosť, pri ktorej sa lanko pretrhne. Tento výsledok teda nebude veľmi správny…

\[\begin{aligned} 3. \qquad v &\le \frac{M-m}{m}\sqrt{\left(\frac{F}{M+m}-g\right)l} \ \end{aligned}\]

Presúvame sa na tretí výsledok. Opäť nám sedí rozmerová analýza. Použijeme teraz iný extrémny prípad, ba rovno dva extrémy. Najprv si uvedomme, že ak \(F\) bude veľmi veľké, ba čo teoreticky až „\(F=\infty\)“, tak by sa lanko nemalo pretrhnúť nikdy. Opäť teda vezmime prípad, kedy \(m=M\). Uvidíme, že celý výraz začína nulou, teda dostávame podmienku \(v\leq 0\). No my sme si povedali, že silu môžeme ľubovoľne zväčšovať tak, aby sa lanko neptretrhlo. Dalo by sa na to pozrieť aj tak, že v tomto výsledku sa lanko pretrhne aj keď do neho projektil nenarazí, ale my vieme, že samotný kvádrik na lanku visel podľa zadania bez pretrhnutia. V obidvoch pohľadoch je tento výsledok nesprávny.

\[\begin{aligned} 4. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(\frac{F}{M+m}-g\right)l} \ \end{aligned}\]

Dostali sme sa k štvrtému výsledku. Rozmerová analýza sedí, už ukázané extrémne pohľady zdá sa vydržia. Presuňme si teda tento výsledok na koniec a potom sa pozrieme, či ho predsa len nevieme nejako vylúčiť.

\[\begin{aligned} 5. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(\frac{Mg}{m}-g\right)l} \ \end{aligned}\]

Piaty výsledok dokonca vylúčime veľmi jednoducho. Vôbec totiž nezávisí od sily \(F\)! To asi nebude správne. To by totiž znemanalo, že bez ohľadu na to, akú silu lanko vydrží, lanko sa pretrhne pri rovnakej hraničnej rýchlosti. My však vieme, že lanko sa pretrhne preto, že sila, ktorou naň pôsobí kvádrik s projektilom, je väčšia ako \(F\). Lenže v našom výsledku je sila jednoznačne daná parametrami \(M\), \(m\) a \(l\). Poučenie teda je, že - najmä ak vieme ukázať, že od danej veličiny skutočne závisí.

\[\begin{aligned} 6. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(g-\frac{F}{M+m}\right)l} \ \end{aligned}\]

Šiesty výsledok je zaujímavý. Použijúc rozmerovú analýzu je všetko v poriadku. Pozrime sa však na výraz pod odmocninou. Aby výsledok dával zmysel - teda aby šlo o reálnu fyzikálnu situáciu - mal by byť kladný. Vieme, že \(l\) je kladné, lebo ide o dĺžku lana. Výraz teda bude kladný vtedy, keď \(\left( M+m \right)g > F\). To znamená, že tiažová sila, ktorá pôsobí na kvádrik s projektilom je väčšia ako \(F\). Ale čo ak to tak nebude? Predsa \(F\) môže byť ľubovoľne veľké, . Navyše si pozorný čitateľ rýchlo všimne, že čím väčšiu silu \(F\) lanko vydrží, tým menší bude výsledný celkový výraz. Ale my by sme očakávali, že to bude naopak - . Tento výsledok preto tiež nebude správny.

\[\begin{aligned} 7. \qquad v &\le \frac{M+m}{M}\sqrt{\left(\frac{F}{M+m}-g\right)l} \ \end{aligned} \]

Siedmy, posledný výsledok. Tu použijeme ešte jeden trik - predstavíme si, že niečo neexistuje. Konkrétne pôjde o projektil samotný. V podstate sa to dá považovať za extrémny prípad keď \(m=0\). Ak budeme do kvádrika „strieľať projektil nulovej hmotnosti“, asi by sme očakávali, že sa nič nestane. A to . Zjednodušme teda náš výraz ak \(m=0\). Dostaneme \[v\leq \sqrt{(\frac{F}{M}-g)l}.\] Očakávali by sme, že pre \(v\) teraz nebude existovať žiadny limit. Ale existuje. Jedinou možnosťou je, že by tento výraz nedával zmysel. Ale keďže predpokladáme, že sila \(F\) je väčšia ako tiažová sila pôsobiaca na kvádrik samotný \(Mg\) (inak by sa lanko pretrhlo aj bez strieľania a vtedy nemá veľmi zmysel riešiť úlohu), tak výraz zmysel dáva vždy. Tento výsledok preto nebude správny.

Vráťme sa teda k štvrtému výsledku. Vidíme, že závisí od všetkých veličín, ktoré by sme vo výsledku mohli očakávať. Ak budeme zvyšovať silu \(F\), ktorú lanko vydrží, bude sa aj hraničná rýchlosť \(v\), pri ktorej sa lako pretrhne. Ak si predstavíme, že do kvádrika nič nevystrelíme (\(m=0\)), tak výraz nedáva zmysel (v menovateli je \(0\), čiže sa celý výraz ide „do nekonečna“), čo znie pomerne rozumne, pretože limit pre \(v\) vtedy nemá existovať. Výraz pod odmocninou je kladný len ak je \(F>(M+m)g\), čo celkom dáva zmysel, lebo ak lanko neudrží hmotnosť kvádrika s projektilom, tak by pretrhnutie lanka nastalo bez ohľadu na rýchlosť a teda nemá zmysel riešiť úlohu „aká bude rýchlosť“. Všetky naše zbrane zdá sa zlyhali. Znamená to, že výsledok je určite správny? Rozhodne nie! Iba vieme, že by mohol byť - narozdiel od ostatných výsledkov. Ako zistíme, či skutočne je správny? Bez počítania úlohy samotnej len veľmi ťažko :) Našťastie, zadanie od nás chce len toľko, aby sme určili, či správny môže alebo nemôže byť. Zvedavému čitateľovi prezradíme, že tento výsledok skutočne je výsledkom zadanej úlohy. Všetky metódy, ktoré sme naznačili vo vzorovom riešení však čitateľovi vrelo odporúčame aplikovať na akékoľvek výsledky, ku ktorým sa vo fyzike dopracuje - často je to jednoduchý spôsob, ako odhaliť, že sme niečo nevypočítali správne :)