Čože to zadanie od nás chce? Vraj máme zmerať nejaký koeficient reštitúcie. V prvom rade poďakujeme Adamovi, ktorý nám ušetril asi 30 sekúnd googlenia tým, že nám prezradil, že nám vlastne ide o pomer rýchlostí po a pred zrážkou. No a keď sme vybavení touto zásadnou informáciou, môžeme začať dumať, ako tento koeficient reštitúcie zmerať. No na úvod si predsa len neodpustíme krátku úvahu[^1] o zrážkach a o tom, čo a ako budeme merať.

Uvažujme dvojicu zrážajúcich sa telies. Vo všeobecnosti môžu pri zrážke nastať nasledujúce javy:

• rýchlosti telies sa nejako zmenia;

• telesá budú pri zrážke zdeformované, v kritickom prípade až zničené.

Pre potreby tejto úlohy budeme uvažovať, že pri zrážke nedôjde k zničeniu telies, čomu budeme rozumieť tak, že po zrážke bude možné telesá identifikovať a jednoznačne im priradiť rýchlosti.

A čo sa pri takej zrážke vlastne deje? Je zjavné, že zrážka nie je bodová udalosť v priestore ani v čase. Povedali sme totiž, že pri zrážke sa menia rýchlosti telies a ak by zrážka prebehla na nulovej dĺžke a v nekonečne krátkom čase, v danom momente by museli telesá vykazovať nekonečné zrýchlenia, a tým pádom na seba pôsobiť nekonečnými silami, čo je nefyzikálne.

Telesá sa teda pri zrážke musia deformovať, na čo sa nutne spotrebuje istá energia. V závislosti na tom, či sa táto energia po zrážke premení späť na mechanickú energiu, rozlišujeme zrážky pružné a nepružné. Aspoň tak nás to učili v škole. V skutočnosti nastane niečo medzi tým. Časť energie sa zvyčajne premení späť a časť sa spotrebuje na plastickú deformáciu telies a uvoľní sa v podobe tepla. To, do akej miery dôjde k spätnej premene energie deformácie na kinetickú energiu, popisuje práve koeficient reštitúcie.

Na základe tejto úvahy je zrejmé, že štandardné hodnoty koeficientu reštitúcie budú z intervalu $\left\langle 0;1\right\rangle$, pričom nule zodpovedá dokonale nepružná zrážka a jednotke dokonale pružná zrážka. V zriedkavých prípadoch môže koeficient reštitúcie ležať aj mimo tohto intervalu. Napríklad pri priestrele jedného telesa druhým je koeficient reštitúcie záporný. Alebo ak pri zrážke telesá získajú nejakým spôsobom energiu,[^2] môžu mať po zrážke vyššie rýchlosti než pred ňou a vtedy je koeficient reštitúcie väčší, než jedna. Pokiaľ nebudeme hopsalku strieľať z dela alebo ako terč používať papier, záporný koeficient reštitúcie nám nehrozí. Oveľa väčší pozor si budeme musieť dávať na to, aby sme hopsalke neudelili rotáciu alebo naopak, aby nám hopsalka po zrážke nezačala výrazne rotovať, čo by značne ovplyvnilo rýchlosť po odraze.

Na záver našich všeobecných úvah si koeficient reštitúcie zadefinujme matematicky. Povedali sme, že je to pomer rýchlostí po odraze a pred ním, teda $$ e = \frac{v_{f}}{v_{i}}. $$

Ale čo sú tie rýchlosti zač? Veď predsa do zrážky vstupujú dve telesá, tak rýchlosť ktorého z nich máme brať do úvahy? Asi by sme tipovali, že toho, o ktorého koeficient reštitúcie sa zaujímame. No dobre, ale rýchlosti predsa závisia na voľbe vzťažnej sústavy, tak teda v ktorej sústave sa máme na zrážku pozerať? Vtip je v tom, že to, ako zrážka vyzerá, je dôsledkom oboch telies, a teda na základe nejakej všeobecnej zrážky nemožno určiť koeficient reštitúcie telesa, pretože obe telesá si ukroja z energie spotrebovanej počas zrážky. Prísne vzaté, koeficient reštitúcie určený pri nejakej zrážke je charakteristikou tejto zrážky a nie zrazivších sa telies. No a charakteristickou rýchlosťou zrážky je vzájomná rýchlosť telies, teda na rýchlosti v definičnom vzťahu sa možno pozerať ako na rýchlosti jedného telesa vo vzťažnej sústave spojenej s druhým telesom alebo jednoduchšie ako súčet rýchlostí oboch telies v nejakej pevne zvolenej vzťažnej sústave.

Predchádzajúca úvaha má pre nás jeden dôležitý dôsledok. Ak chceme zmerať koeficient reštitúcie nejakého telesa, musíme nejakým spôsobom eliminovať vplyv druhého telesa na zrážku. To možno urobiť jedným z nasledujúcich spôsobov:

• budeme zrážať dve identické telesá, čím bude zrážka symetrická, a teda obe telesá prispejú rovnakou mierou k stratám energie;

• teleso budeme zrážať s dokonale tuhým terčíkom, čím eliminujeme vplyv terčíka na priebeh zrážky.

Prvá možnosť by bola ideálna, lenže zraziť centrálne dve hopsalky bez toho, aby po zrážke nezačali rotovať a odrazili sa presne v smere, v ktorom sa zrazili, je prakticky nerealizovateľné. Budeme sa teda musieť uchýliť k druhej možnosti, aj keď sme si vedomí, že dokonale tuhé teleso neexistuje. V snahe minimalizovať systematické chyby teda vyberieme to najtuhšie, čo môžeme. Takže nie, perzský koberec v obývačke u krstnej mamy nie je dobrá voľba.

No a teraz už môžeme konečne začať dumať nad tým, ako samotné meranie prevedieme. Na určenie rýchlosti štandardne potrebujeme merať dve veličiny – vzdialenosť a čas. Lenže zadanie nám zakazuje používať dĺžkové meradlo, čiže musíme nájsť spôsob, ako tento zákaz obísť. Jedným z riešení by mohlo byť napríklad meranie rýchlosti využívajúc Dopplerov jav (radar). Takéto meranie by však bolo dosť nepresné a náročné na vybavenie.

Rozpamätajme sa na už spomínaný vzorák k experimentálke o meraní tiažového zrýchlenia.[^3] Predstavili sme v ňom koncept relatívnych meraní. Ten spočíval v tom, že jednu veličinu zafixujeme a sledujeme zmeny meranej veličiny pri menení druhej. V našom prípade vieme merať čas, no nevieme merať dĺžku. Ak však považujeme tiažové zrýchlenie za známe, vieme času jednoznačne dĺžku priradiť.

Myšlienka je asi nasledovná. Nech má teleso tesne pred dopadom rýchlosť $v_{i}$. Jeho kinetická energia je teda $E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2}mv_{i}^{2}$. V momente spustenia z výšky $h$ má nulovú rýchlosť, čiže jeho mechanická energia spočíva len v potenciálnej energii $E_{\mathrm{pot}} = mgh$. Z rovností týchto energií je možné určiť rýchlosť meraním výšky pri známom tiažovom zrýchlení. Toto sa robí štandardne. My však nemôžeme merať výšku, no môžeme použiť rovnaký trik, aby sme meranie výšky previedli na meranie času. Merajme čas od momentu spustenia po moment dopadu. Nech je tento čas $t$. Potom výšku, z ktorej sme teleso nechali padať, určíme jednoducho ako $h = \frac{1}{2}gt^{2}$. Rovnakým spôsobom by sme vedeli určiť aj výšku výstupu, no na to by sme museli vedieť presne zmerať čas výstupu od momentu odrazu po najvyšší bod trajektórie, a ten je dosť problematické určiť.

Dá sa to však ešte celé vylepšiť. Nemerajme čas od spustenia po dopad a od odrazu ma najvyšší bod, ale merajme čas medzi dvomi dopadmi. Vieme, že v priblížení voľného pádu výstup a následný pád trvajú rovnako dlho, takže nebude problém dopracovať sa k výške výstupu ani týmto spôsobom. V skutočnosti tú výšku ale ani nepotrebujeme. To, čo nás zaujíma, sú predsa rýchlosti a výška bol len taký medzikrok, ktorý sa štandardne používa. My však poznáme vzťah pre rýchlosť pre zvislý vrh nahor $$ v\left(t\right) = v_{0} - gt. $$

V čase dopadu $\tau$ má teleso rovnakú veľkosť rýchlosti, ako v čase $t = 0$, len má opačné smer, teda $$ v\left(\tau\right) = -v_{0} = v_{0} - g\tau, $$ odkiaľ dostávame hľadaný vzťah medzi rýchlosťou a časom $$ v_{0} = \frac{g\tau}{2}. $$

Vidíme, že rýchlosť je úmerná času medzi dvomi po sebe nasledujúcimi dopadmi telesa.

Povedzme, že koeficient reštitúcie určujeme z $i$-teho a $\left(i + 1\right)$-ho časového rozdielu medzi dopadmi. Potom $$ e_{i} = \frac{v_{i + 1}}{v_{i}} = \frac{\frac{g}{2}\tau_{i + 1}}{\frac{g}{2}\tau_{i}} = \frac{\tau_{i + 1}}{\tau_{i}} < 1. $$

Všetko, čo musíme urobiť, je zaznamenať časy dopadov, určiť časové intervaly medzi následnými dopadmi, no a potom dať už iba susedné časové intervaly do pomeru. Pokiaľ koeficient reštitúcie nezávisí na rýchlosti, všetky pomery budú nadobúdať približne rovnaké hodnoty. Na záver vypočítané pomery spriemerujeme, čím získame hodnotu koeficientu reštitúcie.

Uvedený postup má jeden maličký nedostatok. Pri vyšších poradových číslach odrazov budú dĺžky časových intervalíkov malé, takže relatívna chyba merania bude dosahovať veľké hodnoty. Vieme sa tomu vyhnúť tak, že vyššie odrazy nebudeme brať do úvahy, alebo vieme náš postup ešte trochu vylepšiť. Všimnime si, že ak je koeficient reštitúcie naozaj konštantný, veľkosti intervalíkov tvoria geometrický rad, keďže $\tau_{i + 1} = e\tau_{i}$. To znamená, že $\tau_{i + 1} = \tau_{1}e^{i}$. Ak zadefinujeme $n$-tý čiastočný súčet geometrického radu ako $$ T_{n} = \sum_{i = 1}^{n}\tau_{i} = \sum_{i = 1}^{n}\tau_{1}e^{i - 1} = \frac{1 - e^{n}}{1 - e}\tau_{1}, $$

ten potom predstavuje časový rozdiel medzi $n$-tým a nultým[^4] dopadom. Tým sme se elegantne vyhli malým časovým intervalíkom. Navyše sme dostali vzťah medzi časom dopadu a jeho poradovým číslom, takže ak grafom preložíme krivku tohto tvaru, vieme jednoducho vizuálne posúdiť, či koeficient reštitúcie naozaj nezávisí na rýchlosti.

Dosť už bolo slov, poďme merať! Zoberieme si svoju obľúbenú hopsalku a nájdeme vhodný terčík. Rozumným terčíkom je napríklad keramická dlažba. Ešte nájdeme spôsob, ako rozumne merať čas. A nie, stopky nie sú rozumný spôsob, pretože chceme merať krátke časové intervaly a meranie stopkami by spôsobovalo obrovské chyby. Ani videozáznam nie je najoptimálnejšie riešenie, pokiaľ nemáme vysokorýchlostnú kameru, pretože snímková frekvencia bežných kamier sa pohybuje okolo 30 snímok za sekundu a navyše rýchlo sa pohybujúca hopsalka by na zázname bola rozmazaná. Do úvahy by pripadal napríklad fotosenzor umiestnený tesne nad podlahou, no pri ňom je ten problém, že by sme museli nejakým spôsobom zabezpečiť, aby hopsalka dopadala vždy pred ním, čo by mohlo byť dosť problematické. Ako najideálnejšie riešenie sa nám javí použiť zvukový záznam. Každý dopad hopsalky zanechá zvukovú stopu, takže nie je problém určiť okamih dopadu, no a nie sme ani odkázaní na presne vymedzené miesto dopadu, keďže vieme zachytiť zvuk dopadu, nech sa udeje kdekoľvek – jediným obmedzením je veľkosť terčíka.

Musím sa priznať, že toto bola asi najrýchlejšie nameraná experimentálka, s akou som sa stretol. Jednoducho som zobral telefón, spustil nahrávanie zvuku a položil ho na podlahu. Potom som už len niekoľkokrát spustil hopsalku na podlahu a nechal ju skackať. Celé meranie netrvalo viac než dve minúty aj so stiahnutím zvukového záznamu do počítača.

Dáta máme, môžeme ich spracovať. Ak som povedal, že dáta som mal namerané do dvoch minút, tak s ich spracovaním som zabil celý deň. Na analýzu zvukového záznamu použijeme program Audacity, ktorý je voľne dostupný. Postupne prechádzame zvukovou stopou a čas zvukového impulzu zapíšeme do excelovskej tabuľky. Čas vieme odčítať s presnosťou až na jednu tisícinu sekundy. Keď takto získame časy všetkých dopadov, môžeme pokračovať ich spracovaním. Postupne si ukážeme oba prístupy, ako sa vieme dopracovať ku koeficientu reštitúcie.

Začnime metódou pomerov. Analýzu jedného pádu prevedieme podrobne, u ostatných potom uvedieme len výsledky. Dáta sú zapísané v tabuľke. Poďme si ich vysvetliť. V druhom stĺpci je čas dopadu $t_{i}$, ako bol určený zo záznamu. Absolútna chyba tohto času je určená presnosťou, akou vieme odčítať čas – v našom prípade $\SI{0.001}{\second}$. V treťom stĺpci je doba $\tau_{i}$ medzi dvomi nasledujúcimi dopadmi. Keďže bola určená ako rozdiel dvoch časov s chybou $\SI{0.001}{\second}$, jej absolútna chyba je $\SI{0.002}{\second}$. Vo štvrtom stĺpci je potom relatívna chyba tejto doby $\delta\tau_{i}$ vyjadrená v percentách. Vidíme, že relatívna chyba s poradovým číslom dopadu rastie. V ďalšom stĺpci je vypočítaný koeficient reštitúcie $e_{i}$ z podielu dvoch nasledujúcich dôb medzi dopadmi. V posledných dvoch stĺpcoch sú relatívna a absolútna chyba koeficientu reštitúcie. Keďže koeficient reštitúcie je vypočítaný z podielu dvoch dôb, jeho relatívna chyba $\delta e_{i}$ je súčtom relatívnych chýb príslušných dôb. Relatívna chyba dosahuje pri posledných odrazoch hodnotu až okolo $\SI{5}{\percent}$, čo potvrdzuje naše tvrdenie, že toto je slabinou tejto metódy. Absolútnu chybu $\Delta e_{i}$ udávame zaokrúhlenú na tri desatinné miesta, pretože s rovnakou presnosťou máme uvedený aj samotný koeficient reštitúcie. Pri ďalších výpočtoch však budeme používať presnejšie hodnoty.

Na záver sa potrebujeme z týchto dát dopracovať k najpravdepodobnejšej hodnote koeficientu reštitúcie. Mohli by sme jednoducho spriemerovať všetky vypočítané koeficienty a boli by sme vybavení. Takýto prístup má však jeden nedostatok – koeficienty, ktoré majú veľkú chybu prispievajú do priemeru rovnako ako tie s malou chybou. Tomuto sa dá vyhnúť použitím váženého priemeru $$ \bar{e} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}w_{i}e_{i}}{\sum_{i = 1}^{N}w_{i}}, $$ kde ako váhu použijeme prevrátenú hodnotu absolútnej chyby $w_{i} = \frac{1}{\Delta e_{i}}$, čím zabezpečíme, že čím je chyba väčšia, tým je príspevok danej hodnoty do celkového priemeru nižší. Suma v menovateli mi zabezpečuje len to, aby boli váhy normované na jednotku.[^5] Keď vykonáme príslušný výpočet, dostaneme hodnotu $\bar{e} = \num{0.901}$. Len pre porovnanie, nevážený priemer dáva $\bar{e} = \num{0.913}$, čo je dôsledkom toho, že koeficienty reštitúcie vypočítané z neskorších odrazov sú väčšie.

Ešte nám zostáva odhadnúť chybu merania. Tá pozostáva z dvoch častí. Systematickú chybu sme už vyčísľovali pre každú hodnotu zvlášť. Ako výslednú chybu môžeme zobrať napríklad maximálnu z nich alebo viac optimisticky ich priemer. Nech sa už rozhodneme akokoľvek, vždy je treba presne uviesť, ako sme túto chybu určili. Maximálna chyba má hodnotu $\num{0.051}$ a priemerná $\num{0.021}$. Ešte treba určiť náhodnú chybu. Pre tento účel vypočítame výberovú smerodajnú odchýlku priemeru. Môžeme opäť zvoliť jej vážený variant $$ s_{\bar{e}} = \sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i = 1}^{N}w_{i}\left(e_{i} - \bar{e}\right)^{2}}. $$

V takom prípade sa dopracujeme k hodnote $s_{\bar{e}} = \num{0.00561}$. Túto hodnotu treba ešte prenásobiť Studentovým koeficientom zodpovedajúcim nami zvolenej miere spoľahlivosti. Koeficient $1$ pri výpočte z 25 hodnôt (24 stupňov voľnosti) zodpovedá hladine spoľahlivosti $\SI{67.28}{\percent}$, čo znamená, že s takouto pravdepodobnosťou leží skutočná hodnota v rozsahu $\bar{e} \pm s_{\bar{e}}$. Vidíme teda, že dominantnou je systematická chyba plynúca z nepresnosti merania času.

Rovnakým postupom spracujeme aj ostatné hody hopsalky. Získané koeficienty reštitúcie pre lepšiu prehľadnosť zobrazíme v tabuľke. Výslednú hodnotu môžeme opäť vypočítať váženým priemerom koeficientov nájdených z jednotlivých hodov. Ak sa medzi hodnotami nachádzajú aj výrazne nižšie, môžeme ich pokojne vyradiť,[^6] pretože s najväčšou pravdepodobnosťou zodpovedajú prípadom, keď sa hopsalka odrazila výrazne do strany, prípadne sa rozrotovala, a teda časť energie sa využila inak než na vystúpanie hopsalky do maximálnej výšky.

Metódou pomerov sme sa dopracovali k hodnote $\bar{e} = \num{0.878}$ so smerodajnou odchýlkou $s_{\bar{e}} = \num{0.00489}$, čo značí, že rozptyl nameraných koeficientov bol pomerne malý. Nezabúdajme však, že máme relatívne vysokú systematickú chybu na úrovni približne $\Delta e \sim \num{0.02}$ pochádzajúcu z nepresnosti merania času. Pozrime sa, či iný prístup nevedie k menšej chybe.

Už sme ukázali, že ak $T_{n}$ je čas $n$-tého odrazu od nultého odrazu, potom musí spĺňať rovnicu $$ T_{n} = \frac{1 - e^{n}}{1 - e}T_{1}, $$

kde $T_{1}$ je čas prvého odrazu. Všetky časy $T_{n}$ vieme určiť s absolútnou chybou $\Delta T_{n} = \SI{0.002}{\second}$, keďže ich počítame ako rozdiel dvoch časov. Rozdiel oproti predchádzajúcemu prípadu je ten, že $T_{n} > \tau_{i}$, takže sa dopúšťame menšej relatívnej chyby. Počítať koeficient reštitúcie priamo z tohto vzťahu je dosť problematické, no môžeme použiť metódu najmenších štvorcov s parametrami $\hat{e}$ a $\hat{T_{1}}$. Vzhľadom na to, že vykonávame regresiu cez veľa párov $\left[n;T_{n}\right]$, tak to celkovú chybu významne zníži. Chybu možno znížiť ešte tým, že budeme fitovať priamo časy dopadov funkciou $$ t_{n} = \hat{t_{0}} + \frac{1 - \hat{e}^{n}}{1 - \hat{e}}\hat{T_{1}} $$ s parametrami $\hat{e}$, $\hat{t_{0}}$ a $\hat{T_{1}}$. V takom prípade časy $t_{n}$ sú zaťažené systematickou chybou len $\Delta t_{n} = \SI{0.001}{\second}$. Daňou za to je však skutočnosť, že čas $t_{0}$ nezodpovedá skutočne zaznemenanému času nultého dopadu, ale je určený ako najlepší odhad času nultého dopadu určený z časov všetkých dopadov.[^7]

Opäť si tento prístup ukážme podrobne na prvom hode hopsalky. Pre porovnanie ukážeme fitovanie oboma funkciami. Začnime prvou z nich. Vypočítame časy $T_{n}$ ako rozdiely medzi $n$-tým a nultým odrazom a vynesieme ich do grafu ako funkciu $n$. Potom všetku prácu prenecháme na svoj obľúbený kalkulátor. Zadáme mu tvar funkcie, akou chceme body preložiť a on nám vráti najlepšie odhady parametrov $\hat{e}$ a $\hat{T_{1}}$. Dostaneme, že $\hat{e} = \num{0.9115}$ a $\hat{T_{1}} = \SI{0.6459}{\second}$ s koeficientom determinácie $R^{2} = \num{0.9992}$.[^8] Pre porovnanie metóda pomerov dávala v tomto prípade $\bar{e} = \num{0.901}$ a $T_{1} = \tau_{1} = \SI{0.725 \pm 0.002}{\second}$. Vidíme teda, že daňou za lepší fit je skreslenie doby medzi prvými dvoma dopadmi.

Fit cez doby medzi $n$-tým a nultým dopadom

Teraz si ukážme fit priamo cez časy dopadov na tom istom súbore dát. Jediný rozdiel oproti predchádzajúcemu prípadu je ten, že do grafu vynášame priamo namerané časy dopadov a fitujeme s tromi parametrami. Dostávame hodnoty $\hat{e} = \num{0.9153}$, $\hat{T_{1}} = \SI{0.6159}{\second}$ a $\hat{t_{0}} = \SI{3.6842}{\second}$. Koeficient determinácie je v tomto prípade až $R^{2} = \num{0.9996}$, čiže daňou za zvýšenie kvality fitu je opäť znepresnenie časov $T_{1}$ a $t_{0}$. Toto je všeobecnou vlastnosťou metódy najmenších štvorcov – pridaním parametra sa zvýši presnosť fitu, no treba si dávať pozor, či vylepšený model má stále fyzikálny zmysel.

Fit cez časy dopadov

Spracujme aj ostatné hody hopsalky metódou najmenších štvorcov podľa druhého modelu s tromi parametrami. Nájdené odhady koeficientu reštitúcie zapíšeme do tabuľky. Najpravdepodobnejšiu hodnotu z nich potom určíme ako priemer. Opäť môžeme použiť vážený priemer, kde ako váhy použijeme koeficienty determinácie, aj keď v tomto prípade to nebude mať až taký veľký význam, nakoľko sú vo všetkých prípadoch podobné. Dostaneme $\bar{\hat{e}} = \num{0.8854}$ so smerodajnou odchýlkou $s_{\bar{\hat{e}}} = \num{0.006584}$. Dostali sme síce o niečo väčšiu smerodajnú odchýlku ako v prípade metódy pomerov, no systematická chyba je v tomto prípade podstatne nižšia, nakoľko koeficienty determinácie vychádzajú blízke jednej.

Vyzerá to komplikovane? Možno, no netreba sa toho báť. A čo sa vlastne od vás očakávalo? V prvom rade bolo treba prísť na to, ako možno koeficient reštitúcie zmerať. Potom bolo treba vykonať merania. To bola tá jednoduchšia časť. Najdôležitejšie však je vedieť svoje dáta spracovať a prezentovať. Tu, ako máte možnosť vidieť, existuje niekoľko spôsobov a je len na vás, ktorý si vyberiete. Nutnou súčasťou riešenia je aj odhad chýb. A nemôžete zabudnúť okomentovať jednotlivé výsledky. V opačnom prípade je to len zhluk hodnôt, ktoré bez patričnej interpretácie nemajú význam. Tak napríklad nestačí povedať, že toto je chyba merania, keď neuvediete, ako ste ju dostali. Nikto nemôže vedieť, či je to priemerná chyba, maximálna chyba a či smerodajná odchýlka. Táto časť riešenia zaberie najviac času. Napríklad ja som mal dáta namerané zhruba za minútku, no s ich spracovaním som strávil celý deň.