Stano si v FKSku rád váľa šunky. No dnes výnimočne váľa aj valce. Zobral si valec, prevŕtal dierku cez stred jeho podstáv, vložil tam tenkú paličku a valec roztočil rýchlosťou $\omega$. Honestly to bolo celkom satisfying. No po chvíli ho to prestalo baviť.
Zobral si teda do ruky druhý valec, prevŕtal dierku cez stred jeho podstáv, vložil tam tenkú paličku a valec neroztočil. Namiesto toho ho rovnobežne pritlačil silou $F$ k prvému valcu, ktorý sa točil rýchlosťou $\omega$. Tieto valce sa o seba treli a po istom čase prestali medzi sebou prešmykovať. Ako dlho valce medzi sebou prešmykovali? Aké uhlové rýchlosti mali valce keď prestali prešmykovať? Súčiniteľ trenia medzi valcami je $f$.
Zo zadania nebolo jasné, či sa jedná o rozdielne alebo rovnaké valce, preto úlohu vyriešime najskôr všeobecne, a potom sa pozrieme na prípad, keď sú valce rovnaké. Označme si polomery valcov $r_1$ a $r_2$ a ich hmotnosti $m_1$ a $m_2$. Podľa zadania sa jedná o plné valce, čiže moment zotrvačnosti je $I = \frac{1}{2}mr^{2}$. Jeden valec je spočiatku nehybný a druhý sa točí uhlovou rýchlosťou $\omega$ okolo vlastnej osi. Následne pritlačíme silou $F$ druhý na prvý, čím medzi nimi vznikajú trecie sily s veľkosťou $F_{t} = fF$. Z tretieho Newtonovho zákona ešte vieme povedať, že tieto sily majú opačný smer. Z toho vyplýva, že valec, ktorý sa na začiatku točí, začne spomalovať (uhlové zrýchlenie bude záporné) a valec, ktorý sa na začiatku nehýbe začne zrýchľovať.
Na prvý valec pôsobí moment sily $M_1 = r_1fF$ a na druhý $M_2 = r_2fF$. Pre rotačný pohyb valca okolo jeho osi platí $M = I\epsilon$. Keďže momenty síl $M_1$ a $M_2$ a momenty zotrvačnosti $I_1$ a $I_2$ sú konštantné, uhlové zrýchlenia $\epsilon_1$ a $\epsilon_2$ musia byť konštantné tiež. Vypočítame ich ako $$ \begin{aligned} \epsilon_1 &= -\frac{2fF}{m_1r_1}, \ \epsilon_2 &= \frac{2fF}{m_2r_2}. \end{aligned} $$ To, že sú uhlové zrýchlenia konštantné znamená, že môžeme jednoducho použiť známy vzťah pre rovnomerne zrýchlený rotačný pohyb, teda $$ \begin{aligned} \omega_1 &= \omega + \epsilon_1 t, \ \omega_2 &= \epsilon_2 t. \end{aligned} $$ Takto sme sa dostali ku závislosti uhlovej rýchlosti jednotlivých valcov od času. Valce prestanú prešmykovať vtedy, keď sa ich obvodové rýchlosti vyrovnajú, teda keď bude platiť $$ \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2, $$ z čoho po dosadení a vyjadrení $t$ dostaneme $$ \begin{aligned} t &= \frac{\omega r_1}{-r_1 \epsilon_1 + r_2 \epsilon_2}, \ t &= \frac{\omega r_1}{\frac{2fF}{m_1} + \frac{2fF}{m_2}}, \end{aligned} $$ čo je čas, za ktorý valce prestanú prešmykovať.
Po dosadení tohto času do vzťahov $\omega_1 (t)$ a $\omega_2 (t)$ po pár úpravach dostaneme $$ \begin{aligned} \omega_{1t} &= \omega - \frac{\omega}{\frac{m_2}{m_1} + 1}, \ \omega_{2t} &= \frac{\omega r_1}{r_2 (1 + \frac{m_1}{m_2})}, \end{aligned} $$ čo sú ustálené rýchlosti jednotlivých valcov. Teraz už jednoducho nahliadneme, že ak sú valce identické, t. j. $m_1 = m_2$ a $r_1 = r_2$, potom čas ustálenia je $$ t = \frac{m\omega r}{4fF}, $$ a uhlová rýchlosť v tomto čase (rovnaká pre oba valce). $$ \omega_{1t} = \omega_{2t} = \frac{\omega}{2}. $$
Na prvý pohľad sa môže zdať, že sa úloha dá pomerne jednoducho vyriešiť pomocou zákonu zachovania momentu hybnosti. Najskôr sa ale treba zamyslieť nad tým, či sa táto veličina naozaj zachováva. Z definície momentu hybnosti vieme, že sa zachováva práve vtedy, keď súčet vonkajších momentov síl je nulový, teda keď $\sum_{n = 1}^{N} \vec{\Tau_n^{vonk}} = 0$. V tejto úlohe pôsobia momenty dvoch trecích síl $\vec{M_1} = I_1\vec{\epsilon_1}$ a $\vec{M_2} = I_2\vec{\epsilon_2}$. Moment hybnosti sa teda zachováva, ak ich súčet je nulový, teda ak $$ I_1\vec{\epsilon_1} + I_2\vec{\epsilon_2} = 0. $$ Z čoho po dosadení uhlových zrýchlení a momentov zotrvačnosti dostaneme podmienku $$ r_1 = r_2. $$ Pokiaľ teda predpoklad bol, že valce sú rozdielne, zákon zachovania momentu hybnosti sa nedal použiť.