Ako prvý si samozrejme pozrieme videovzorák nalinkovaný v zadaní. Po prvých cca. $\SI{9}{\minute}$ si uvedomíme, že vzorák nám pomohol s veľkou časťou našej úlohy. V tomto vzoráku sa teda budeme veľmi odkazovať na výsledky z videa. Upozorňujeme ale, že vaše riešenie by relevantné kroky z videa malo obsahovať.

Celý náš problém si môžeme rozdeliť na dve časti: a – guľa stále len na jednom páse, b – guľa periodicky chodí z jedného pásu na druhý. Prípad a je vlastne úplne vyriešený vo videu. Jediný rozdiel je, že video pracuje s valcom a my s guľou. To spôsobí, že oproti videu máme $J = 2/5 mR^2$ a nie $1/2 mR^2$. Z toho dostávame výsledok $$ v(t) = fgt \qquad\text{a}\qquad \omega(t) = \frac{5fg}{2R}t. $$ Ide teda o rovnomerne zrýchlený pohyb v časovom intervale $(0, t_1)$, kde $$ t_1 = \frac{2u}{7fg}. $$ Po tomto čase už guľa neprešmykuje a ďalej ide rýchlosťou $v(t_1)$ a uhlovou rýchlosťou $\omega(t_1)$, až pokým neprejde dokopy vzdialenosť $l$ čo označíme časom $t_2$. Po kombinácii rovnomerne zrýchleného pohybu a rovnomerného pohybu dostávame $$ l = \frac{1}{2}fgt_1^2 + fgt_1(t_2 - t_1) \qquad\Rightarrow\qquad t_2 = \frac{l}{t_1fg} - \frac{t_1}{2} = \frac{7l}{2u} - \frac{u}{7fg}. $$ (Teraz už jasne chápeme poznámku o dostatočne veľkom $l$. Očividne, $l$ je dostatočne veľké na to, aby $t_2$ bolo kladné.) Tým sme vyriešili pohyb v časti a.

Pre časť b nás vlastne zaujíma, čo sa bude diať s guľou, ktorá ide zadanou rýchlosťou $v_0 = v(t_1)$, keď ju položíme na pás, ktorý ide rýchlosťou $u$ do opačnej strany. Guľa bude prešmykovať, teda aj meniť svoju rýchlosť. Jediný rozdiel v rovniciach oproti prípadu a bude v tom, že budeme mať počiatočnú rýchlosť $v_0$ a uhlovú rýchlosť $\omega_0 = \omega(t_1)$. Tieto rýchlosti budú mať opačný smer ako zrýchlenie $$ v’(t’) = v_0 - fgt’ \qquad\text{a}\qquad \omega’(t’) = \omega_0 - \frac{5fg}{2R}t’. $$ Všimnime si, že v tomto prípade čas $t$ meriame od vstupu na opačne idúci pás, teda od času $t_2$. Tento fakt sme naznačili čiarkami na funkciách a čase. Opäť nás bude zaujímať, kedy guľa prestane prešmykovať, t. j. kedy bude splnená podmienka $-u = v’(t’) + R\omega’(t’)$. Po dosadení a vyjadrení dostávame, že táto podmienka bude splnená pre $t’_1 = 4u/(7fg) = 2t_1$. Počas tohto času bude guľa rovnomerne zrýchľovať do opačnej strany. To platí pre translačný aj rotačný pohyb. Ak vyjadríme polohu $x’$[^1] po čase $t’$, zistíme, že guľa bude na rovnakom mieste z ktorého štartovala, bude mať rovnakú translačnú aj uhlovú rýchlosť, len do opačnej strany $$ \begin{aligned} x’(t’_1) &= v_0 {t’}_1 - \frac{1}{2} fg{t’}_1^2 = 2v_0t_1 - 2fgt_1^2 = 2fgt_1^2 - 2fgt_1^2 = 0, \ v’(t’_1) &= v_0 - fgt’_1 = fgt_1 - fg(2t_1) = -v_0, \ \omega’(t’_1) &= \omega_0 - \frac{5fg}{2R}t’_1 = \frac{5fg}{2R}t_1 - \frac{5fg}{2R}(2t_1) = -\omega_0. \end{aligned} $$

Po čase $t’_1$ guľa prejde zase na prvý pás. Situácia je úplne identická (len priestorovo invertovaná) tej na druhom páse, preto sa bude diať to isté. Guľa bude oscilovať okolo bodu dotyku pásov s periódou $2t’_1$, s maximálnou výchylkou $2u^2/(49fg)$. Oscilácie ale nie sú harmonické, ako tomu častokrát býva, lebo sila nie je proporčná veľkosti výchylky. Celý priebeh môžeme vidieť na grafe 1. Vlnky značiace oscilujúci pohyb nie sú sínusy alebo kosínusy, ale na seba nadväzujúce časti parabol.

{‘singular’: ‘obrázok’, ‘plural’: ‘obrázky’} 1: Časový priebeh $v(t)$, $\omega(t)$ a $x(t)$ pre zadané hodnoty