5. Pouličná lampa hamol...
Zadanie
Pouličná lampa pred Jarovým domom dlhé roky nefungovala. Jaro si však z toho ťažkú hlavu nerobil – aspoň mohol po nociach nerušene pozorovať nočnú oblohu. To sa však zmenilo, keď obec zainvestovala do pouličného osvetlenia a lampu opravila. Ulica sa tým síce stala o čosi bezpečnejšou, no podmienky na nočné pozorovanie oblohy sa tým výrazne zhoršili.
V súčasnosti teda lampa svieti rovnomerne do dolného polpriestoru a osvetľuje chodník priamo pod ňou desiatimi luxami. Jaro však odpozoroval, že lampa sa zapína až v momente, keď svetelný senzor umiestnený tesne nad lampou je sám osvetlený menej než desiatimi luxami. Jaro preto zobral zdroj svetla žiariaci rovnomerne do všetkých smerov a umiestnil ho pod lampu vo výške očí tak, že senzor lampy osvetľoval práve desiatimi luxami. Koľkokrát sa zmenšilo osvetlenie v mieste Jarových očí po tom, ako donútil svojím zdrojom svetla pouličnú lampu zhasnúť?
Lampa je vysoká $\SI{4}{\metre}$, Jaro je v horizontálnej vzdialenosti $\SI{10}{\metre}$ od lampy a oči má vo výške $\SI{2}{\metre}$ pod ňou.
Zo zadania vieme, že chodník priamo pod lampou je osvetlený s osvetlením $E_0 = \SI{10}{\lux}$. Keďže lampa žiari rovnomerne do celého dolného polpriestoru a v hĺbke $H = \SI{4}{\metre}$ je osvetlenie $E_0$, lampa svieti svetelným tokom $\Phi_0 = 2\pi H^2 E_0$. Osvetlenie v mieste Jarových očí je preto $$ E = \frac{\Phi_0}{2\pi\left(D^2 + h^2\right)} = \frac{H^2}{D^2 + h^2} E_0, \qquad{(1)}$$ kde $D = \SI{10}{\metre}$ je horizontálna vzdialenosť Jara od lampy a $h = \SI{2}{\metre}$ je hĺbka jeho očí pod lampou.
Keď Jaro umiestní do hĺbky $h$ pod lampu zdroj svetla, musí v mieste lampy vyrobiť osvetlenie $e_0 = \SI{10}{\lux}$. Keďže tento zdroj svetla žiari rovnomerne do celého priestoru, jeho svetelný tok musí byť $\phi_0 = 4\pi h^2 e_0$. V mieste Jarových očí teda vyrobí osvetlenie $$ e = \frac{\phi_0}{4\pi D^2} = \frac{h^2}{D^2} e_0. \qquad{(2)}$$
Pomer osvetlenia v dôsledku pridania nového zdroja svetla k pôvodnému osvetleniu v dôsledku pouličnej lampy je preto $$ \frac{e}{E} = \frac{h^2 \left(D^2 + h^2\right)}{H^2 D^2} \frac{e_0}{E_0} = \SI{26}{\percent}. \qquad{(3)}$$