Pred tým, ako zistíme, čo máme vlastne počítať, potrebujeme sa zamyslieť nad tým, ako vlastne Jaro určuje svoju výšku v zrkadle. Uvedomme si, že jeden z dobrých spôsobov ako to spraviť je, že sa Jaro pozrie na vrch svojej hlavy a spodok svojich nôh v zrkadle a určí, aký je uhol medzi týmito dvomi lúčmi a kolmicou na zrkadlo. Následne zistí, ako ďaleko sa jeho obraz nachádza a z toho vypočíta svoju výšku.

Zadanie nešpecifikuje umiestnenie očí vzhľadom na Jarovu výšku. Preto najlepšie, čo môžeme spraviť, je uvažovať, že Jaro má oči na vrchu svojho tela. Releventný je teda len uhol, pod ktorým vidí svoje nohy. Tieto myšlienky sú zachytené na náčrte Jara v kúpeľni na obrázku 1.

{‘singular’: ‘obrázok’, ‘plural’: ‘obrázky’} 1: Náčrt Jara obdivujúceho sa v zrkadle

Ako vidno z obrázka, nebudeme uvažovať odrazený lúč. Namiesto toho prejdeme za rovinu zrkadla[^1], ktorá je rovinou symetrie. Zo Snellovho zákona vieme, že platí $$ \cos\alpha n_1 = \cos\beta n_2, $$ kde $n_1 = 1$ je index lomu vzduchu a $n_2 = 1.33$ index lomu vody. Asi ste zvyknutí na Snellov zákon so sínusom a uhlom meraným od kolmice na rozhranie. Pre náš prípad je prirodzenejšie merať uhol od rozhrania, a teda Snellov zákon bude mať kosínus namiesto sínusu (premyslite si, že je to dobre).

Ak kosínusy vyjadríme pomocou pomerov strán a použijeme Pytagorovu vetu, dostaneme rovnicu $$ \frac{2D - d}{\sqrt{(H - h)^2 + (2D - d)^2}} n_1 = \frac{d}{\sqrt{d^2 + h^2}} n_2. $$ Jediné, čo nepoznáme, je vzdialenosť $d$, a preto ju z rovnice vyjadríme. Ak obe strany umocníme na druhú a preusporiadame, dostávame, že $d$ je koreňom polynómu štvrtého stupňa $$ \alpha d^4 + \beta d^3 + \gamma d^2 + \delta d + \epsilon = 0, $$ kde $$ \begin{aligned} \alpha &= n_1^2 - n_2^2, \ \beta &= 4D(n_2^2 - n_1^2), \ \gamma &= 4D^2(n_1^2 - n_2^2) + h^2(n_1^2 - n_2^2) + (2Hh - H^2)n_2^2, \ \delta &= -4D h^2 n_1^2, \ \epsilon &= 4 D^2 h^2 n_1^2. \end{aligned} $$ Pre zadané hodnoty $H = \SI{2}{\metre}$, $h = \SI{0.2}{\metre}$ a $D = \SI{1}{\metre}$ dostávame pomocou výpočtovej techniky možné riešenia pre $d$. Avšak dve z týchto riešení sú komplexné a jedno záporné. Keďže sme ale fyzici, tak vieme, čo daná rovnica a riešenie majú popisovať. Preto môžeme spomínané tri riešenia zahodiť a prehlásiť za jediné riešenie to kladné $d \approx \SI{0.129}{\metre}$.

Jaro sa teda v zrkadle vidí vysoký $$ H’ = 2D \tan\alpha = 2D \frac{H - h}{2D - d} \approx \SI{1.92}{\metre}. $$