Mözg rozjímal nad Slnkom, planétami a vôbec. Uvedomil si, že nech odcestuje kdekoľvek, polohu hmotného stredu Slnečnej sústavy veľmi neovplyvní. Ako najďalej od stredu Slnka sa vie hmotný stred Slnečnej sústavy dostať len na základe vlastných pohybov planét?
Za normálnych okolností sú planéty rozmiestnené “náhodne” okolo Slnka. To zapríčiní, že celkové ťažisko Slnečnej sústavy je veľmi blízko ťažiska Slnka, lebo hmotnosť ostatných planét je rozložená na všetky smery. Aby sme ťažisko dostali čo najďalej od ťažiska Slnka, musia planéty spojiť svoje sily a všetky sa dať na jednu stranu. Zaujíma nás teda poloha ťažiska v prípade, že Slnko a všetky planéty ležia na jednej priamke v poradí Slnko, Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter, Saturn, Urán a Neptún.
Poloha ťažiska sa počíta ako $$ x_T = \frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}. $$ Prečo vzorec vyzerá tak ako vyzerá je popísané nižšie.
Aby sme teda zistili extremálnu polohu ťažiska, stačí zistiť stredné vzdialenosti od Slnka a hmotnosti jednotlivých planét[^1].
| $m [M_\Earth]$ | $x [\si{\au}]$ | |
|---|---|---|
| $\Sun$ | 333000 | 0 |
| $\Mercury$ | 0.06 | 0.39 |
| $\Venus$ | 0.82 | 0.72 |
| $\Earth$ | 1 | 1 |
| $\Mars$ | 0.11 | 1.52 |
| $\Jupiter$ | 318 | 5.20 |
| $\Saturn$ | 95 | 9.58 |
| $\Uranus$ | 14.5 | 19 |
| $\Neptune$ | 17.1 | 30 |
Po dosadení dostaneme $\SI{0.01}{\au} \approx \SI{1.5e6}{\kilo\metre}$. Pre porovnanie, polomer Slnka je $\SI{695700}{\kilo\metre}$, takže ťažisko Slnečnej sústavy sa teoreticky vie dostať mimo Slnka.
Vzorec pre výpočet ťažiska
Ťažisko je podľa definície taký bod, v ktorom keď teleso podoprieme, ostane v rovnováhe. Inými slovami, momenty gravitačných síl pôsobiace na jednotlivé časti telesa a moment sily, ktorou teleso podopierame, sa vynuluje. Vyjadrené jazykom matematiky $$ 0 = \left(\sum m_i\right)g x_T - \sum m_i g x_i. $$ Po vyjadrení $x_T$ dostávame spomínanú rovnicu ťažiska. Poznamenajme, že za $x_i$ sme v tomto prípade brali vzdialenosti jednotlivých časti v rovine kolmej na smer gravitačnej sily.