Ako prvé by sme mali kvalitatívne popísať, čo sa bude s nábojom diať. Na náboj budú pôsobiť 3 sily. Gravitačná - tá bude stále konštantná, sila od lanka - tá bude náboj udržiavať v pevnej vzdialenosti od bodu závesu a magnetická - tá bude pôsobiť v kolmom smere na rýchlosť.

Keď ho pustíme z vychýlenej polohy, hmotný bod má nulovú rýchlosť a bude zrýchľovať ako normálne sférické kyvadlo. Keď už bude mať rýchlosť, bude pôsobiť aj magnetická sila. Tá ale pôsobí kolmo na smer pohybu, a preto nekoná prácu, ale iba zakrivuje dráhu. V okamihu, keď hmotný bod bude znova v začiatočnej výške, bude otočený o nejaký uhol oproti pôvodnému vychýleniu. Bez uvažovania magnetického poľa by bol otočený o , avšak kvôli pôsobeniu magnetickej sily bude tento uhol iný. Tento pohyb sa následne bude opakovať z nového miesta.

Už teraz by nám malo byť jasné, že pre nejakú hodnotu $B$ by sa mal hmotný bod pri jednom kyve otočiť napríklad o . Po štyroch kyvoch by preto mal byť naspäť v svojej počiatočnej polohe a chodiť po uzavretej krivke. V týchto úvahách ale budeme pokračovať neskôr, keďže sa týkajú konca úlohy.

Poďme teraz pristúpiť k samotnej simulácii. Na hmotný bod pôsobia

• gravitačná sila $$ \vec{F_g} = m\vec{g}, $$

• magnetická sila $$ \vec{F_m} = q(\vec{v}\times\vec{B}) $$

• a sila od lanka $$ \vec{T} = \left[\left(\frac{\vec{r}}{r}\right) \cdot \left(m\vec{g} + q(\vec{v} \times \vec{B})\right) + \frac{mv^2}{r} \right]\left(-\frac{\vec{r}}{r}\right). $$

Sila od lanka má komplikovanejší tvar, takže si ho poďme rozobrať. V prvom rade si všimneme, že je tam súčet gravitačnej a magnetickej sily skalárne prenásobený jednotkovým vektorom $\vec{r}$, čo je vektor polohy. Tak sme dostali veľkosť zvyšných dvoch síl v smere lanka. Tieto musia byť kompenzované silou od lanka, lebo to má stálu dĺžku. Preto lanko musí pôsobiť rovnakou silou, ale v opačnom smere (preto sme to vynásobili záporným jednotkovým vektorom v smere lanka). Vieme, že hmotný bod sa pohybuje po “povrchu gule”, a aby sa na ňom udržal, musí naň pôsobiť dostredivá sila, ktorá je zodpovedná za druhý člen v hranatej zátvorke.

Keď už vieme celkovú silu, a teda aj zrýchlenie v každom bode, môžeme sa dať do numerického integrovania. Budeme integrovať po malých časových intervaloch $\mathrm{d}t$. Keď sa hmotný bod v čase $t$ nachádza v bode $\vec{r}(t)$ a má rýchlosť $\vec{v}(t)$, o čas $\mathrm{d}t$ vieme jeho polohu odhadnúť ako $$ \vec{r}(t + \mathrm{d}t) \approx \vec{r}(t) + \vec{v}(r)\mathrm{d}t $$ a rýchlosť ako $$ \vec{v}(t + \mathrm{d}t) \approx \vec{v}(t) + \vec{a}(\vec{r}, \vec{v})\mathrm{d}t. $$

Čím menší krok $\mathrm{d}t$ spravíme, tým presnejšie bude vzťah platiť. Tento krok nám už stačí len veľakrát opakovať a dostaneme aproximáciu pohybu nášho kyvadla. Na koniec pripájame python skript, ktorý spomínané integrovanie robí a následne vykreslí trojrozmernú trajektóriu kyvadla.

Výsledky vyzerajú nasledovne:

obrázok 1: Výsledky

Error: Bolo by tu ale treba nastaviť rovnaké osi

Teraz ideme pokračovať hľadaním aproximácie funkcie $B$ od $x$, kde $x$ je počet prekmitov na jeden obeh. Hraním sa so simuláciou dostávame takého dvojice hodnôt $[x; B]$:

Zakreslením do grafu s logaritmickou $x$-ovou osou a lineárnou $y$-ovou osou dostávame priamku, ktorú vieme odhadnúť ako $y \approx \num{7.9}x - \num{5.5}$. Preto $B(x) \approx \SI[parse-numbers=false]{\num{7.9} \ln x - \num{5.5}}{\tesla}$.

Tým je úloha vyriešená a ostáva len pár poznámok na záver. Môžeme si všimnúť, že postup pri určovaní závislosti sa v istom ohľade podobá na experimentálne zistenie závislosti. Táto podobnosť pramení z toho, že k výsledkom simulácie sa nemôžeme správať ako k presným hodnotám. Simulácia má tiež svoju chybu a tá sa zväčša zväčšuje s počtom iterácii, ktoré spravíme pri simulovaní.

Ďalšia zaujímavosť je význam veličiny $x$, ktorú sme si definovali ako počet prekmitov na jeden obeh. Môžeme vidieť, že keď túto veličinu vynásobíme $\frac{1}{2\pi}$, dostaneme veličinu charakteru $\varphi^{-1}$, kde $\varphi$ je uhol, o ktorý sa hmotný bod otočí okolo osi závesu za jeden prekmit. Z toho vidno, prečo má zmysel zakresľovať do grafu aj zlomky.Z uhlovej interpretácie nám dokonca dáva zmysel túto funkciu spojite dodefinovať na celom intervale $0T \leq B \leq 10T$.

[@I] kyvadlo.py