Jožka chytila neodolateľná potreba hrať sa s jojom, preto hneď otvoril počítač a jedno si objednal. Bohužiaľ, dodacia doba bola až dva týždne. To bolo pre Jožka pridlho, a tak sa rozhodol, že si zatiaľ jedno vyrobí. Avšak aby potom nemal dve, vyrobil ho netradične. Zobral guľôčku hmotnosti $m$ a gumičku s tuhosťou $k$ a s nulovou pokojovou dĺžkou. Na jeden koniec gumičky pripevnil guľôčku a jeho “home-made” jojo bolo hotové.
Ihneď sa s ním začal hrať. Okrem iného skúšal jojo pustiť z nehybnej ruky, počkať kým dosiahne najnižší bod svojej trajektórie a v tom okamihu prudko trhnúť rukou nahor tak, že ruka skončí o $h$ vyššie. Následne sledoval ako vysoko jojo vyjde, respektíve o koľko vyššie sa dostane oproti polohe, z ktorej ho spustil. Ako sa tak hral, uvedomil si, že by sa to malo dať zrátať. Zrátajte to aj vy. O koľko vyššie vyjde jojo, ak v momente, keď je jojo najnižšie, Jožko prudko trhne rukou, čím ju zdvihne o vzdialenosť $h$?
Pri úlohách podobných tejto čelí každý fyzik základnej dileme fyzika: riešiť úlohu cez sily, alebo energie? V tejto úlohe sa každému ostrieľanému fyzikovi malo zdať, že riešenie cez sily bude komplikované – sila od gumičky (ďalej je budeme nazývať len pružina) sa bude stále meniť, a tak nemusí byť úplne jasné, aký efekt bude mať meniace sa zrýchlenie na okamžitú rýchlosť guľôčky. Pustíme sa preto do riešenia cez energie1.
Energie, s ktorými sa v našej úlohe môžeme stretnúť, sú troch druhov: kinetická a dve potenciálne – jedna súvisiaca s tým, že sme v gravitačnom poli (gravitačná potenciálna energia), a druhá súvisiaca s tým, že sa hráme s pružinou (potenciálna energia pružnosti). Tieto tri sú pomerne známe2, takže s nimi poďme rovno žonglovať.
Zo slušnosti si najprv povedzme, kde bude pre nás nulová výška, a teda nulová hladina gravitačnej potenciálnej energie3 – určime ju v tej výške, z ktorej Jožko pustil svoje jojo.
Najprv analyzujme, čo sa udeje pred trhom. Na začiatku je guľôčka nehybná vo výške $0$ a pružina je nenatiahnutá. Celková energia je tak určite nulová, keďže sú nulové všetky tri zložky, ktoré do nej započítavame. Potom Jožko pustí guľôčku a tá dosiahne svoju minimálnu polohu vo výške $-y$. V tomto momente guľôčka stojí, takže nemá kinetickú energiu, a pružina je natiahnutá na dĺžku $y$. Celková energia v tomto momente je tak $$ E_1 = \frac{1}{2}ky^2 - mgy. $$
V priebehu sa však musela zachovávať energia, a tak je aj táto energia nulová. Dostávame preto vzťah $$ \frac{1}{2}ky^2 = mgy. $$
Bude sa nám hodiť odtiaľto vyjadriť $y$, tak to urobme4: $$ y = \frac{2mg}{k}. $$
Toto bola tá nudnejšia časť. Teraz potrebujeme pochopiť, čo sa stane, keď Jožko trhne jojom. Pred trhom je jojo vo výške $-y$, pružina je natiahnutá na dĺžku $y$ a guľôčka sa nehýbe. Vtom Jožko prudko trhne rukou nahor. Keďže to spraví prudko, tak je to rovnaké, ako keby sa ruka okamžite teleportovala o výšku $h$ nahor – prudkosť trhu totiž zabezpečí, že kým si guľôčka stihne uvedomiť, že Jožko trhol rukou, tak je jeho ruka už o $h$ vyššie.
Po trhu je tak guľôčka stále nehybná, stále vo výške $-y$, ale tentoraz je už pružina natiahnutá na dĺžku $h+y$. Celková energia sústavy v tomto okamihu je preto5: $$E_2 = \frac{1}{2}k(h+y)^2 - mgy$$ Guľôčka je v najspodnejšej polohe svojho kmitu, takže sa začne hýbať smerom nahor, až kým nedosiahne najvyššiu polohu. Označme jej výšku $H$ – toto je výška, ktorú potrebujeme zistiť. V tomto momente sa guľôčka opäť nehýbe, takže kinetická energia ani teraz nehrá žiadnu úlohu. Gravitačná potenciálna energia však už je $mgH$ a potenciálna energia pružnosti zas6 $\frac{1}{2}k(H-h)^2$. Medzi týmito dvomi okamihmi sa žiadna energia nemala kam stratiť, takže dostávame rovnicu: $$\frac{1}{2}k(h+y)^2 - mgy = mgH + \frac{1}{2}k(H-h)^2$$ Dosaďme za $y$ a spravme zopár úprav: $$2mgh = mgH + \frac{1}{2}kH^2 - 2kHh$$ To je strašne pekná kvadratická rovnica7, z ktorej vyjadríme $H$: $$H = \frac{2kh - mg \pm \sqrt{(2kh - mg)^2 + 4kmgh}}{k}$$ Našťastie nad nami bdie najvyššia bytosť úpravy nechutných výrazov. Máme totiž šťastie a výraz pod odmocninou sa v skutočnosti rovná: $$(2kh + mg)^2$$ Takže ho vieme odmocniť a dostať dve riešenia: $$ \begin{aligned} H_1 &= \frac{2kh - mg - (2kh + mg)}{k} = -\frac{2mg}{k} \ H_2 &= \frac{2kh - mg + (2kh + mg)}{k} = 2h \end{aligned} $$ Ktorý výsledok je ten náš? Všimnime si, že $H_1 = -y$. Takéto riešenie sme v skutočnosti mohli očakávať8, veď aj v momente tesne po trhu je celková energia $E_2$.
Pre nás relevantné je však druhé riešenie. Hovorí nám, že jojo vyjde o $2h$ vyššie.
Hoci tento model joja nie fyzikálne presný (napr. sa nám nijako nenamotáva lanko alebo neuvažujeme rotáciu samotého joja, v ktorej sa vie ukryť časť energie), dáva návod, ako sa s klasickým jojom hrať. Treba prudko trhnúť rukou, keď je jojo v najnižšom bode. Vďaka tomu sa vie jojo vrátiť dokonca do väčšej výšky ako tej, v ktorej skončí ruka držiaca jojo.
Hoci sme úlohu zdarne vyriešili, ukážme si ešte trikový spôsob riešenia. A hoci sme si tiež povedali, že nechceme riešiť úlohu cez sily, tak toto riešenie bude v podstate zamaskované nejaké riešenie cez sily.
Riešenie je založené na tejto myšlienke: Rovnovážna poloha pružiny je v strede medzi najnižšou polohou a najvyššou polohou. Tu v podstate fyzika končí a už to bude len geometria.
Na začiatku je guľôčka vo výške $0$, čo je jej najvyššia poloha v časti pred trhom. Rovnovážna poloha je v tomto momente v nejakej výške $-x$ (v skutočnosti nás ani moc netrápi, aká presne je). Toto je stred medzi najvyššou a najnižšou polohou, takže najnižšia poloha je vo výške $-2x$.
Pri trhnutí rukou o $h$ nahor sa rovnovážna poloha zvýši o $h$ (rovnovážna poloha musí zostať o $x$ pod rukou) na výšku $h - x$. Zároveň je guľôčka v najnižšej polohe vo výške $- 2 x$. Takže najvyššia poloha je vo výške $2h$ (keďže $\frac{2h - 2x}{2} = h - x$, tak bod vo výške $h - x$ je naozaj medzi bodmi vo výškach $2h$ a $-2x$).
A to je všetko, opäť sme dostali, že guľôčka vyjde do výšky $2h$.
Čitateľovi je však stále odporúčané vyskúšať si, či by túto úlohu nevedel vyriešiť aj cez sily. ↩
Ak nie sú, tak všetko podstatné k nim to povie bárs aj wikipedia. ↩
Veľmi teoreticky by sme to mohli špecifikovať aj pre ostatné dve energie. V nich ale uvažujeme prirodzene nulovú energiu pre nulovú rýchlosť, resp. výchylku. ↩
Zjavne bude $y \neq 0$. ↩
Hoci je toto len poznámka pod čiarou, tak je fakt dôležité si uvedomiť, že trhnutím Jožko dodal do sústavy nejakú energiu. ↩
Pritom predpokladáme, že guľôčka vyletí nad úroveň Jožkovej ruky (ktorá je vo výške $h$). To skutočne môžeme – ľahko si totiž vieme spočítať, že do sústavy sme dodali viac ako energie ako $mgh$, čo je energia potrebná na zdvihnutie joja z výšky $0$ na výšku $h$ (a na dosiahnutie výšky $0$ sme mali dosť energie už predtým). ↩
irónia ↩
A je aj dôvodom, že tá hnusná odmocnina sa zvládla pekne odmocniť. Inými slovami, ak má kvadratická rovnica jeho slušné riešenie, tak je aj druhé riešenie slušné. ↩