7. Dotkni sa hviezd

Vladkovi prestalo stačiť fotografovanie nočnej oblohy pri dlhej expozícii. Chcel sa k nej priblížiť ešte viac a preto si len tak z pasie zostrojil malú raketu. Vladkove ambície siahajú vysoko – konkrétne do výšky \(h\) nad zemský povrch, do ktorej by chcel svoju raketu umiestniť na kruhovú dráhu. Vladko teraz dumá, aký celkový impulz bude potrebný v nasledujúcich situáciách:

1. Raketa najprv krátko zapne motory a naberie takú zvislú rýchlosť, aby zotrvačnosťou doletela práve do výšky \(h\). Následne sa otočí vodorovne a ďalším impulzom zmení svoju dráhu na kruhovú.
2. Raketa najprv vyletí na kruhovú orbitu v zanedbateľnej výške. Potom krátkym impulzom zvýši svoju rýchlosť v smere letu tak, aby letela po elipse, ktorej apogeum (bod trajektórie najvzdialenejší od stredu Zeme) sa nachádza vo výške \(h\). Po dosiahnutí apogea znovu krátko zapne motory, aby sa jej trajektória stala kružnicou s polomerom \(h + R_{\oplus}\).
3. Raketa vyletí na čo najnižšiu kruhovú orbitu. Následne krátkym impulzom zvýši svoju rýchlosť tak, aby sa apogeum dostalo do veľmi veľkej vzdialenosti \(H \gg R_{\oplus}\). Potom sladko zaspí a počká, až ju zotrvačnosť vynesie do apogea. Tam o máličko zrýchli, aby sa perigeum zdvihlo do požadovanej výšky \(h\). Napokon opäť počká, až doletí do tohoto nového perigea, a prudko zabrzdí, aby sa jej orbita zmenila na kruhovú.

Samozrejme, Vladko by bol rád, keby bol celkový impulz čo najnižší. Vedeli by ste mu poradiť?

Kvôli jednoduchosti môžete výsledky vyjadrovať pomocou vzdialeností od stredu Zeme v \(\xi\)-násobkoch zemských polomerov, teda \(h + R_\oplus = \xi R_\oplus\).