4. Minimalizovanie vzorové riešenie

Dokonale pružná zrážka je taká, pri ktorej sa zachováva mechanická energia aj hybnosť.

Pod akým uhlom sa puky odrazia?

Hmotnosť pukov označme \(m\), a označme

• \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) počiatočné rýchlosti pukov,
• \(\vec{v}_1', \vec{v}_2'\) rýchlosti pukov po zrážke.

Predpokladajme, že druhý puk je na začiatku v pokoji, teda \(\vec{v}_2 = \vec{0}\).

Zachovanie hybnosti

\[ m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = m\vec{v}_1' + m\vec{v}_2' \]

Po vydelení \(m\) máme \[ \vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'. \]

Zachovanie energie

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv_1'^2 + \frac{1}{2}mv_2'^2 \]

Po úprave je \[ v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2. \]

Odvodenie uhla

Zo zákona zachovania hybnosti \[ \vec{v}_1 - \vec{v}_1' = \vec{v}_2'. \]

Obe strany skalárne (skalárny súčin vektorov má pekné vlastnosti súčinu a navyše pre dĺžku vektora platí \(v^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\)) vynásobme \(\vec{v}_1'\), odkiaľ \[ (\vec{v}_1 - \vec{v}_1') \cdot \vec{v}_1' = \vec{v}_2' \cdot \vec{v}_1'. \] Po roznásobení je \[ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1' - \vec{v}_1' \cdot \vec{v}_1' = \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1' - v_1'^2 = \vec{v}_2' \cdot \vec{v}_1'. \] Na základe zachovania energie platí \[ v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2 \qquad\Implies\qquad v_2'^2 = v_1^2 - v_1'^2. \] Zo zachovania hybnosti vieme, že \[ \vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2' \qquad\Implies\qquad v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2'. \] Substituujúc \(v_2'^2 = v_1^2 - v_1'^2\) na pravej strane, dostaneme \[ v_1^2 = v_1'^2 + (v_1^2 - v_1'^2) + 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = v_1^2 + 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2'. \] Od oboch stranách odčítame \(v_1^2\), čiže \[ 0 = 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' \qquad\Implies\qquad \vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = 0. \]

Skalárny súčin dvoch vektorov je 0 práve vtedy, keď sú na seba kolmé alebo je jeden z nich nulový (len pre zaujímavosť, nulový vektor je z definície kolmý na každý vektor).

Vidíme, že vektory rýchlostí po zrážke sú na seba kolmé (resp. v prípade čelnej zrážky prvý puk zastaví, overte si to dosadením do zákonov zachovania, z ktorých uvidíte, že iné rýchlosti im nevyhovujú). Naozaj prestaňte čítať a presvedčte sa o tom! Keď ste už dosadili, pokračujme.

Ak by bol puk len jeden, z predošlého odseku je zrejmé, že ten vystrelený sa naspäť pohybovať nebude. Ak by sme pripustili, že po čelnej zrážke pôjde prvý puk kolmo na svoj pôvodný smer (o chvíľku vysvetlíme, prečo to môžeme), potrebovali by sme tri zrážky na otočenie a jednu na zastavenie (keďže ste si to už overili, komentár k zastaveniu netreba) na konci (trajektória bude mať tvar štvorca). Zrážka ale nemohla byť čelná, prvý puk musel naraziť “o kúsok vyššie”, t. j. uhly vo vnútri “štvorca” musia byť väčšie ako pravé, pričom trafenie sa na začiatok zabezpečíme zmenou dĺžky niektorej strany. Úvaha o štvorci bola dôležitá aj preto, lebo ide o “limitný prípad”, čím presnejšie bude zrážka čelná, tým bližší bude uhol k \(\ang{90}\), no nikdy sa nedosiahne. Z toho je aj zrejmé, že menším počtom pukov sa na začiatok nedostaneme.

Keď sme sa už presvedčili, že štyri puky sú najmenší možný počet, sme pripravení na informáciu, že stačia tri. Náš dôkaz sa opieral o konkrétnu geometrickú predstavu, kde sa zrazia vždy len dva puky. Čo keby sa zrazili tri naraz? Keďže náš pohľad je už teraz dosť zidealizovaný, môžeme si to dovoliť (našťastie zrážka štyroch naraz nás už trápiť nemusí, rozmyslite si, prečo).

Jediná vec navyše oproti predošlému riešeniu je uvedomiť si, že keď sa zrazia, môžu sa pohybovať iba v smere výslednice síl, ktoré na daný puk pôsobia. Z toho vyplýva, že kvôli symetrii sa náš pôvodný puk pohybuje po tej istej priamke späť a v okamihu zrážky vytvárajú puky rovnostranný trojuholník. Môžeme ľahko vidieť, že pomer horizontálnej a vertikálnej zložky rýchlosti je \(\tan\ang{60} = \sqrt{3}\). Ďalej nám stačí napísať si zákon zachovania hybnosti vo vodorovnom smere (vo zvislom platí triviálne) \[ m v_0 = 2 m v_x + m v, \] kde \(v_x\) označuje horizontálnu zložku rýchlosti (niektorého z) dvojice pukov (vertikálna bude \(v_y\)), \(v_0\) rýchlosť jedného puku pred zrážkou a \(v\) po zrážke. Zákon zachovania energie má tvar \[ \frac{1}{2} m v^2 = 2 \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) + \frac{1}{2} m v^2, \] lebo druhá mocnina veľkosti rýchlosti sa rovná súčtu druhých mocnín jej zložiek.

Po drobných úpravách (ktoré prenechávame ako cvičenie čitateľovi) zistíme, že \[ v = - \frac{1}{5} v_0, \] kde mínus znamená opačný smer. Týmto sme dokázali, že puk pôjde naspäť a zastavíme ho rovnako, ako v predošlom prípade.