7. Trochu praxe nezaškodí vzorové riešenie

V oboch Ronyho modeloch je súčet hybností gulí pred aj po zrážke rovnaký, pretože na gule síce pôsobia vonkajši sily – gravitačná a normálová od stola – ale ich súčet je nulový, a teda súčet hybností gulí sa zachováva. Okrem toho, podľa zadania sú zrážky dokonale pružné, čiže kinetická energia gulí sa nemení na iné formy energie, t. j. súčet kinetickej energie gulí sa zachováva.

Ronyho prvý model

Označme \(v\) rýchlosť odpálenej gule pred zrážkou, \(v_1\) rýchlosť odpálenej gule po zrážke a \(v_2\) rýchlosť pôvodne stojacej po zrážke. Zákon zachovania hybnosti potom je \[ mv + 0 = mv_1 + mv_2 \] a zákon zachovania energie \[ \frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2. \] Po odstránení zbytočných ozdôb typu \(m\) a \(\frac{1}{2}m\) tak máme sústavu rovníc \[ \begin{aligned} v &= v_1 + v_2 v^2 &= v_1^2 + v_2^2. \end{aligned} \] Z prvej vyjadríme \(v_1 = v - v_2\) a po dosadení do druhej dostaneme \[ v^2 = v^2 - 2vv_2 + v_2^2 + v_2^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_2^2 = vv_2. \] Táto rovnica má riešenia \(v_2 = 0\) a \(v_2 = 0\). Rony zo skúseností vie, že po zrážke sa pôvodne stojaca guľa pohybuje, teda fyzikálne správnym riešením je \(v_2 = v\). Zo zákona zachovania hybnosti je potom zjavné, že \(v_1 = 0\). V prvom Ronyho modeli teda odpálená guľa po zrážke stojí a pôvodne stojaca ide rýchlosťou \(v\), ktorou Rony prvú guľu odpálil.

Ronyho druhý model

Keďže podľa zadania trenie medzi guľami neuvažujeme, rotačná kinetická energia sa medzi guľami nemala ako preniesť. Teda podobne ako v prvom modeli, tesne po zrážke máme jednu stojacu guľu a jednu guľu idúcu rýchlosťou \(v\). Rozdiel je v tom, že keďže si nechali svoje pôvodné rotačné kinetické energie, tak tesne po zrážke stojaca guľa rotuje a hýbuca sa guľa nerotuje. Obe teda prešmykujú, a teda trecia sila na ne pôsobí dvojako – zrýchľuje/spomaľuje ich posuvný pohyb a moment trecej sily spomaľuje/zrýchľuje ich rotáciu. Trecia sila prestane pôsobiť v momente, keď sa posuvná rýchlosť a obvodová rýchlosť na povrchu gule vyrovnajú. Poďme teda počítať.

Guľa \(1\) tesne po zrážke stojí a rotuje uhlovou rýchlosťou \(\frac{v}{r}\), keďže pred zrážkou sa pohybovala rýchlosťou \(v\). Trecia sila má veľkosť \(mgf\) a urýchľuje guľu. Keďže trecia sila pôsobí na povrchu gule, tak jej moment voči stredu gule je \(mgfr\) a spomaľuje jej rotáciu. Zrýchlenie gule teda je \(\frac{mgf}{m} = gf\) a uhlové zrýchlenie je \(\frac{mgfr}{J}\), kde \(J\) je moment zorvačnosti gule. Preto časový vývoj rýchlosti je \[ v_1(t) = gft \qquad(1)\] a uhlovej rýchlosti je \[ \omega_1(t) = \frac{v}{r} - \frac{mgfr}{J} t. \qquad(2)\] Trecia sila pôsobí, dokým sa nevyrovná posuvná rýchlosť s obvodovou, čo nastane v nejakom čase \(t_0\), pre ktorý teda musí platiť \[ v_1(t_0) = \omega_1(t_0) r. \] Do tejto rovnice dosadíme vyjadrenia pre rýchlosť 1 a uhlovú rýchlosť 2 a zistíme, že guľa prestane prešmykovať v čase \[ t_0 = \frac{v}{fg\left(1 + \frac{mr^2}{J}\right)}. \] Po dosadení \(t_0\) do 1 dostávame, že posuvná rýchlosť gule sa ustáli na \[ v_1 = \frac{v}{\left(1 + \frac{mr^2}{J}\right)} = \frac{2}{7} v, \] kde sme dosadili moment zotrvačnosti gule \(J = \frac{2}{5}mr^2\).

Pri druhej guli je to veľmi podobné. Tesne po zrážke sa hýbe rýchlosťou \(v\) a nerotuje. Veľkosť aj moment trecej sily sú rovnaké ako pri prvej guli, teda teraz máme časový vývoj rýchlosti \[ v_2(t) = v - gft \qquad(3)\] a uhlovej rýchlosti \[ \omega_2(t) = \frac{mgfr}{J} t. \] Opäť chceme zistiť, v akom čase nastane \(v_2(t_0) = \omega_2(t_0) r\), a aj v tomto prípade to je \[ t_0 = \frac{v}{fg\left(1 + \frac{mr^2}{J}\right)}. \] Po dosadení \(t_0\) do 3 a pár úpravách dostaneme, že posuvná rýchlosť gule sa ustáli na \[ v_2 = \frac{v}{\left(1 + \frac{J}{mr^2}\right)} = \frac{5}{7} v. \]

V Ronyho druhom modeli teda guľa, ktorú odpálil rýchlosťou \(v\), sa tesne po zrážke zastaví, ale stále rotuje, vďaka čomu sa rozbehne na \(\frac{2}{7} v\), zatiaľ čo pôvodne stojaca guľa ide tesne po zrážke rýchlosťou \(v\), ale nerotuje, vďaka čomu sa zbrzdí na \(\frac{5}{7} v\).