4. Cutting-edge odporová sieť vzorové riešenie

Zadanie

Pri už spomínanom upratovaní FKSáci našli ešte jednu zaujímavú hračku. Bolo to deväť rovnakých rezistorov s odporom \(R\) zapojených tak, že tvorili dva pravidelné štvorsteny priložené stenou k sebe. Rezistory tvorili práve hrany tohto útvaru. Zrátať odpor medzi dvomi najvzdialenejšími bodmi (\(AB\)) bolo, samozrejme, jednoduché. Čo ale keby dva rezistory prestrihli? Aké rôzne výsledné odpory vedia takto dostať medzi spomínanými vrcholmi?

Na začiatok si treba povedať pár vecí, s ktorými budeme v tomto vzoráku pracovať.

Prvou z nich sú alternatívne zapojenia. V obvode totiž nezáleží na tom, v akom poradí sú rezistory zapojené. Podstatné je len koľko ich je a ako sa vetvia, takže z tých istých rezistorov môžeme vytvoriť viacero obvodov, ktoré vyzerajú inak, ale majú úplne rovnaké vlastnosti. To vidíme aj na vzorčekoch ktoré nám umožňujú spočítať odpor našej súčiastky. Na zopakovanie spomenieme, že pre sériové zapojenie platí, že celkový odpor série rezistorov je rovný súčtu ich odporov a pre paralelné, že prevrátená hodnota celkového odporu je rovná súčtu prevrátených hodnôt odporov jednotlivých vetiev zapojenia. Toto nám bude nápomocné neskôr, keďže vďaka tomu môžeme značne zredukovať počet možných nových obvodov z \(\num{36}\) na \(\num{6}\).

Druhým dôležitým princípom, ktorý sa nám zíde sú transformácie z hviezdy na trojuholník a naopak. Ten v zásade hovorí, že keď máme v obvode tri vrcholy spojené do trojuholníka rezistormi, vieme obvod prekresliť tak, že bude vyzerať ako hviezda a naopak, viď obrázok 1. To nám umožní poodstraňovať rôzne priečky a poprepájať každé zapojenie tak, aby sa dalo počítať a vyhli sme sa Kirchoffovým zákonom.

Nie je to však celkom jednoduché. Pri takomto prekreslení totiž musíme zmeniť odpory jednotlivých vetiev, aby mal nový obvod rovnaké vlastnosti ako ten starý. Pre účely tohto príkladu to znamená, že nový odpor vetvy pri transformácii z hviezdy na trojuholník bude rovný \(3R\) a nový odpor pri transformácii z trojuholníka na hviezdu to bude \(\frac{R}{3}\). Viac o tom, ako sa dopracovať k týmto hodnotám a ako a prečo funguje táto transformácia sa dá nájsť tu.

Pôvodný obvod:

Tak si poďme spočítať odpor pôvodného zapojenia. Tu sa nám zíde zamyslieť sa nad tým, ktorými vetvami aj reálne tečie nejaký prúd. Vieme totiž, že napätie vyjadruje rozdiel potenciálov medzi dvoma bodmi, takže logicky, ak majú dva body rovnaký potenciál, bude medzi nimi nulové napätie. A kde nie je napätie, nepotečie ani prúd (aj ak sú tie dva body priamo spojené drôtom). No, ale ako teraz zistíme, ktorými drôtmi netečie prúd? Samozrejme by sa to dalo spočítať, ale stačí nám použiť jednoduchý trik ktorý využíva symetriu obvodu. Pretože ak je náš obvod zložený z dvoch úplne identických vetiev (čo sa týka počtu, odporu a uloženia rezistorov), na analogických miestach oboch vetiev bude vždy rovnaké napätie.

No a najjednoduchším prípadom ako vieme spojiť miesta s rovnakým potenciálom v obvode ktorý má tri vetvy je presne zapojenie v zadaní. To znamená, že strednými drôtmi nepotečie žiaden prúd a môžeme si ten obvod prekresliť ako na obrázku 2.

Pre celkový odpor obvodu \(R_c\) tým pádom platí \[ \frac{1}{R_c} = \frac{1}{R+R} + \frac{1}{R+R} + \frac{1}{R+R} = \frac{3}{2R}, \] čiže \[ R_c = \frac{2}{3}R. \]

Strihanie:

Tak a teraz sa poďme pozrieť na všetky novovzniknuté obvody po dvoch prestrihnutiach. Čiernou sú značené pôvodné rezistory s odporom \(R\), červenou prestrihnuté rezistory, zelenou rezistory vytvorené transformáciou trojuholník-hviezda, takže majú odpor \(\frac{R}{3}\) a modrou tie vytvorené transformáciou z hviezdy na trojuholník s odporom \(3R\).

Obvod 1:

V tomto prípade sme prestrihli jeden rezistor idúci z bodu \(A\) a druhý na neho nadväzujúci rezistor pokračujúci do bodu \(B\). Strednými rezistormi opäť nepotečie žiaden prúd a odpor obvodu bude \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_c} &= \frac{1}{R+R} + \frac{1}{R+R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}, \\ \Rightarrow R_c &= R. \end{aligned} \]

Obvod 2:

Tentokrát sme zase prestrihli rezistor idúci z bodu \(A\) (alebo \(B\), to je jedno) a stredný rezistor, ktorý naň nenadväzuje. Potom bolo treba použiť jednu transformáciu z hviezdy na trojuholník a prestrihnúť novovzniknutý stredný rezistor, ktorým netiekol prúd. No a výpočty vyzerali nasledovne. Paralelné zapojenie modrého a čierneho rezistora má odpor \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_p} &= \frac{1}{R} + \frac{1}{3R} = \frac{4}{3R}, \\ \Rightarrow R_p &= \frac{3R}{4}. \end{aligned} \] Odpor celého obvodu potom bude \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_c} &= \frac{1}{\frac{3R}{4} + R} + \frac{1}{\frac{3R}{4} + R} = \frac{4}{7R} + \frac{4}{7R} = \frac{8}{7R}, \\ \Rightarrow R_c &= \frac{7}{8}R. \end{aligned} \]

Obvod 3:

Teraz sme opäť prestrihli rezistor idúci z bodu \(A\), ale k tomu pre zmenu nadväzujúci stredný rezistor. Prvá polovica obvodu je celkom fajn a v druhej je pekný trojuholník, z ktorého vieme spraviť hviezdu a získať tým dve paralelné vetvy, z ktorých sa jedna vetví. To malé paralelné zapojenie jedného a dvoch rezistorov s odporom \(R\) bude mať odpor \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_{p1}} &= \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}, \\ \Rightarrow R_{p1} &= \frac{2R}{3}. \end{aligned} \] Veľké paralelné zapojenie teda bude \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_{p2}} &= \frac{1}{\frac{2R}{3} + \frac{R}{3}} + \frac{1}{R + \frac{R}{3}} = \frac{1}{R} + \frac{3}{4R} = \frac{7}{4R}, \\ \Rightarrow R_{p2} &= \frac{4R}{7}. \end{aligned} \] A celý obvod má teda odpor \[ R_c = \frac{4R}{7} + \frac{R}{3} = \frac{19}{21}R. \]

Obvod 4:

Tentokrát sme strihali dva stredné rezistory. Tu môžeme pretransformovať strednú hviezdu, ktorá tam vznikla, na trojuholník. No a keďže už vieme aj aký odpor má to malé paralelné zapojenie (\(\frac{3}{4}R\)), tak môžeme zrátať odpor celého obvodu \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_c} &= \frac{1}{3R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{\frac{3R}{4} + \frac{3R}{4}} = \frac{1}{3R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{\frac{6R}{4}} = \frac{3}{2R}, \\ \Rightarrow R_c &= \frac{2}{3}R. \end{aligned} \]

Obvod 5:

Na vytvorenie piateho obvodu sme prestrihli dva rezistory vychádzajúce z bodu \(A\). Takže nám tu opäť vyšla hviezda, ktorú prekreslíme na trojuholník a už sa to dá spočítať. Malé paralelné zapojenie má odpor \(\frac{3}{4}R\), to už sme spočítali dávnejšie. Veľké paralelné zapojenie potom bude mať odpor \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_p} &= \frac{1}{\frac{3R}{4} + \frac{3R}{4}} + \frac{1}{\frac{3R}{4}} = \frac{4}{6R} + \frac{4}{3R} = \frac{2}{R}, \\ \Rightarrow R_p &= \frac{R}{2}. \end{aligned} \] A celý obvod bude \[ R_c = \frac{R}{2} + R = \frac{3}{2}R. \]

Obvod 6:

Nakoniec ostalo ešte prestrihnutie jedného rezistora z bodu \(A\) a druhého z bodu \(B\) tak, aby na seba nenadväzovali. To si vieme prekresliť na takéto trojuholníčky, a potom dva z nich prerobiť na hviezdy, čím získame obvod, s ktorým sa dá počítať. Odpor paralelného zapojenia vypočítame ako \[ \begin{aligned} \frac{1}{R_p} &= \frac{1}{\frac{R}{3} + R + \frac{R}{3}} + \frac{1}{\frac{R}{3} + \frac{R}{3}} = \frac{1}{\frac{5R}{3}} + \frac{1}{\frac{2R}{3}} = \frac{21}{10R}, \\ \Rightarrow R_p &= \frac{10}{21}R. \end{aligned} \] A odpor celého obvodu bude \[ R_c = \frac{10R}{21} + \frac{R}{3} + \frac{R}{3} = \frac{10R}{21} + \frac{2R}{3} = \frac{8}{7}R. \]

No, ani to nebolelo a je hotovo.