3. Prvácke upratovanie vzorové riešenie

Zadanie

FKSáci opäť raz upratovali svoju miestnosť. V najvyššej skrini našli dva zmotané lanové rebríky. Rebríky vyzerajú tak, že medzi dvomi rovnobežnými lanami sú pevné drevené priečky. Na jednom sú priečky priviazané kolmo na laná, no na druhom sú popriväzované akosi divne šikmo a ešte k tomu na striedačku. Tömáš si všimol, že keď oba rebríky pustí z rovnakej výšky na zem, na jeho veľké prekvapenie rebrík s krivými priečkami dopadol na zem skôr – teda jeho najvyššia priečka ležala na zemi skôr ako najvyššia priečka druhého rebríka.

Vysvetlite, prečo je to tak.

Pozrime sa, čo sa deje s rebríkmi po tom, čo ich Tömáš pustí. Na každú priečku prvého (rovného, normálneho) rebríka pôsobí v jej ťažisku gravitačná sila smerom nadol. Keď sa najspodnejšia priečka dotkne zeme, okamžite zastaví a zvyšné priečky to nijako neovplyvní – padajú ďalej voľným pádom.

V prípade druhého (šikmého) rebríka je však situácia iná. Rovnako, ako v predošlom prípade, pôsobí na každú priečku v jej ťažisku¹ gravitačná sila smerom nadol. Rozdiel nastáva až v momente dotyku najspodnejšej priečky so zemou. Keďže je priečka šikmá, zeme sa dotkne najskôr jej spodná časť (resp. spodný roh). Na tento roh začne podložka pôsobiť silou smerom nahor takej veľkosti, že zabraňuje priečke prepadať sa pod zem. Keďže táto sila od podložky pôsobí proti gravitačnej, spodná priečka bude urýchľovaná nadol menej ako pred tým. Teda aj spoločné ťažisko všetkých priečok rebríka bude nadol urýchľované menej ako v prípade voľného pádu. A to je predsa menšie zrýchlenie ako zažíval normálny rebrík! Ako teda môže rebrík so šikmými priečkami dopadnúť skôr?

Vráťme sa späť k jeho spodnej priečke. Keďže tá sa dotýka zeme len svojím spodným rohom a samotné ťažisko priečky ešte nedopadlo, vznikne pôsobením gravitačnej sily moment sily, pričom os otáčania je práve tá časť priečky, ktorá sa dotýka zeme. Ako už bolo spomenuté, ťažisko priečky bude zrýchľovať nadol menej. Avšak moment gravitačnej sily bude spôsobovať rotáciu priečky, konkrétne jej horný koniec pôjde smerom nadol, čím vznikne v lane ťahová sila smerom nadol. Zvyšok rebríka nad priečkou dotýkajúcou sa zeme tak cíti dve sily – gravitačnú a teraz aj ťahovú silu nadol od lana. Preto je zvyšok rebríka urýchľovaný nadol viac ako keby padal voľným pádom. Takýmto spôsobom budú kúsok po kúsku priečky šikmého rebríka urýchľovať všetky ostatné nad sebou, v čoho dôsledku dopadne najvyššia priečka tohto rebríka znateľne skôr, než najvyššia priečka normálneho rovného rebríka.

Dobré by bolo aj zdôvodniť, prečo v tomto prípade neuvažujeme odpor vzduchu ako relevantný dôvod spomaľovania rovného rebríka. Z takej malej výšky, z akej predpokladáme, že Tömáš rebríky púšťa, (zhruba meter až dva) je jednoducho odpor vzduchu natoľko zanedbateľný, že by rozhodne nedokázal spôsobiť taký rozdiel v časoch pádu, k akému v prípade takýchto dvoch rebríkov dochádza.