2. Wingardium leviosa vzorové riešenie

Zadanie

Katke vo FKS miestnosti na Matfyze neskutočne prekáža stôl. Keďže ho nemohla vyhodiť, rozhodla sa, že stolík bude aspoň levitovať, aby menej zavadzal. Keďže ale chodí na Matfyz a nie na Rokfort, musela využiť miesto mágie fyziku. Do stredu stola namontovala štyri háčiky, o ktoré priviazala laná. Tieto laná následne prevliekla cez pevné kladky na strope a na ich konce zavesila závažia hmotnosti \(m\), ktoré položila na stôl. Po tomto zákroku mohla konečne stolu odrezať nohy, ktoré jej tak zavadzali, bez toho, aby stôl spadol. Stôl bez nôh má hmotnosť \(M < 4m\). Akou silou sú napínané laná? A akou silou tlačí stôl na každé závažie?

Z obrázka je zrejmé, že priemer kladky \(2r\) zodpovedá vzdialenosti háčikov držiacich laná na stole a stredov závaží, o ktoré sú opevnené druhé konce lán. Budeme predpokladať, že všetky kladky visia v rovnakej výške a súčty výšky závažia a dĺžky lana sú vo všetkých prípadoch rovnaké (čo ak by neplatilo, stalo by sa niečo podobné, ako keď má stôl jednu nohu dlhšiu alebo kratšiu ako ostatné, čo by sa Katke určite nepáčilo). Hmotnosť háčikov, kladiek a lán je vzhľadom na hmotnosť stola zanedbateľná.

Keďže stôl visí v pokoji, znamená to, že výsledná sila, ktorá naň pôsobí, je nulová. Na stôl pôsobí gravitačná sila \[ F_\text{G} = M g, \] kde \(M\) je hmotnosť stola. Na každé zo závaží pôsobí gravitačná sila \[ F_\text{g} = m g, \] kde \(m\) je hmotnosť jedného závažia. Z toho vyplýva, že na sústavu zloženú zo stola a štyroch závaží pôsobí gravitačná sila \[ F_\text{G4g} = F_\text{G} + 4F_\text{g} = (M + 4m) g. \] Sila, ktorou pôsobia laná na stôl musí byť rovnako veľká, ale opačného smeru.

Na pevnú kladku sa dá pozerať ako na dvojramennú páku s rovnako dlhými ramenami. Aby bola kladka v pokoji, výslednica všetkých síl, ktoré na ňu pôsobia musí byť rovná nule a zároveň súčet momentov síl musí byť nulový. Predpokladajme, že na každú z kladiek pôsobí rovnako veľká sila.

Prvá časť podmienky hovorí o tom, že kladka nevykonáva posuvný pohyb, čo je zrejmé z toho, že Katka kladky pripevnila o strop, takže sila, ktorou laná pôsobia na kladku v smere gravitačného zrýchlenia (dolu) je rovnaká ako sila, ktorou strop pôsobí na kladku v opačnom smere.

Podľa druhej časti podmienky, kladka nekoná otáčavý pohyb. Otáčavý účinok sily opisuje veličina moment sily, ktorej veľkosť je určená ako \[ M = F r, \] kde \(F\) je sila spôsobujúca otáčavý pohyb a \(r\) je rameno sily, t. j. kolmá vzdialenosť vektorovej priamky sily od osi otáčania, čiže vzdialenosť pôsobiska sily od stredu kladky.

Z obrázka je zrejmé, že \[ M_1 = F_1 r \] a \[ M_2 = F_2 r. \] Aby bol otáčavý účinok nulový, momenty síl sa musia rovnať: \[ M_1 = M_2, \] preto \[ F_1 = F_2. \]

Zistili sme, že každé z lán je napínané rovnakou silou. Pretože lán je spolu \(\num{8}\) a každé z nich je napínané rovnako veľkou silou \(T\), musí platiť \[ 8T = F_\text{G4g}, \] čiže každé lano je napínané silou \[ T = \frac{F_\text{G4g}}{8} = \frac{M g + 4m g}{8}. \]

Závažia sú v pokoji a na každé z nich pôsobí gravitačná sila \(F_\text{g}\) v smere gravitačného zrýchlenia (dolu), sila \(T\) proti smeru gravitačného zrýchlenia (hore) a tlaková sila stola \(F_\text{t}\) proti smeru gravitačného zrýchlenia, teda \[ F_\text{g} = F_\text{t} + T, \] odkiaľ vypočítame, že stôl tlačí na každé závažie silou \[ F_\text{t} = F_\text{g} - T = m g - \frac{F_\text{G4g}}{8} = m g - \frac{M g + 4m g}{8} = m g - \frac{M g}{8} - \frac{m g}{2} = \frac{m g}{2} - \frac{M g}{8}. \]

Aby bola táto sila kladná, teda aby pôsobila v smere, ktorý sme určili a nie naopak, musí naozaj platiť podmienka \(M < \num{4}m\) uvedená v zadaní.

Komentár k riešeniam

Častá chyba bola, že sa za silu pnutia považoval súčet veľkostí síl pôsobiacich na každý z koncov lana (\(\frac{M + 4 m}{4}\), označme ju \(F\)), čo je ale sila, ktorou je ťahaná jedna kladka. Predstavte si lano priviazané o strom, ktoré ťaháte silou veľkosti \(F\). Rovnako veľkou silou, ale opačného smeru pôsobí aj strom (môžete si teraz namiesto stromu predstaviť kamaráta, ktorý ťahá tiež silou veľkosti \(F\), ale opačne, ako vy, čím sa situácia pre lano ani Vás vôbec nezmenila). Keďže Vy ťaháte lano, z 3. Newtonovho zákona priamo vyplýva, že lano upevnené o strom ťahá Vás rovnako veľkou silou, ale opačného smeru. To je v podstate tá sila, ktorou pôsobí kamarát, resp. strom. Keďže je sústava (teda Vy, lano a strom, resp. kamarát) v pokoji, má nulové zrýchlenie, čiže vektorový súčet pôsobiacich síl je nulový. Keby kamarát pôsobil inou silou ako vy, táto podmienka by neplatila, čo je v rozpore so zadaním úlohy. Keď uvážime, že každý z \(\num{8}\) koncov lana by na sústavu tvorenú stolom a kladkami pôsobil silou \(F\) smerom hore, vo výsledku by bola sústava ťahaná silou veľkosti \(2M + 8 m\), čo je dvojnásobok tiažovej sily pôsobiacej na stôl v opačnom smere.