Zadanie

Patrik sa opäť raz podujal na cestu vlakom domov do Košíc. Cestou vo vlaku sa do práce ponoril až tak, že stratil pojem o čase a zrazu zistil, že nevie, kde je. Zmätene pozoroval krajinu okolo seba v nádeji, že ju spozná. Práve v tom momente vlak ale vošiel do tunela a bolo po krajine. Patrikovi v tej istej chvíli príšerne zaľahlo v ušiach. Prečo?

Ako tak išiel tým tunelom, všimol si, že vedľa vlaku aj nad vlakom je pomerne veľa miesta. Výrazne viac, ako by bolo treba na trakčné vedenie. Z toho bol už úplne zmätený. Prečo by niekto predražoval stavbu tunela a robil ho väčší, než je potrebné na to, aby sa doň vlak zmestil?

Vlak sa pohybuje v prostredí vyplnenom vzduchom, ktorý mu v jazde tvorí prekážku. Na otvorenom priestranstve vzduch obteká vlak zvrchu a zo strán. Keď vlak prechádza tunelom, nastáva tzv. “piestový efekt”. Keďže plocha prierezu vlaku spravidla nie je výrazne menšia než plocha prierezu tunelu a vlak sa pohybuje pomerne rýchlo, vlak v tuneli pred sebou vytvára oblasť s vyšším tlakom a za sebou oblasť s nižším tlakom. Časť vzduchu je tak z prednej časti tunelu vytlačená a do zadnej časti tunelu je zase nahnaný čerstvý vzduch. Takýmto spôsobom sa však pri prejazde vlaku tunelom nevymení všetok vzduch v tuneli. Medzi vlakom a tunelom je stále priestor, cez ktorý vzduch prechádza. Na rozdiel od situácie, kedy sa vlak pohybuje na otvorenom priestranstve, teraz môže vzduch prechádzať iba priestorom medzi vlakom a tunelom. Tým pádom môže prechádzať menšou plochou, než keď sa pohybuje mimo tunelu. Rovnica kontinuity má tvar \[ S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2, \] kde \(S\) je plocha, ktorou vzduch môže prúdiť, a \(v\) je jeho rýchlosť, pričom indexy \(\num{1}\) a \(\num{2}\) označujú situáciu mimo a v tuneli. Z nej vyplýva, že vzduch obtekajúci vlak v tuneli bude mať vyššiu rýchlosť než vzduch obtekajúci vlak mimo tunelu. Následne sa pozrieme na Bernoulliho rovnicu, ktorá má tvar1 \[ p_1 + \frac{1}{2} \cdot v_1^2 \rho = p_2 + \frac{1}{2} \cdot v_2^2 \rho, \] kde \(p\) je tlak, \(v\) je rýchlosť a \(\rho\) je hustota a indexy opäť označujú prúdenie v a mimo tunela. Z nej vyplýva, že ak sa rýchlosť tekutiny (teda kvapaliny alebo plynu) zvýši, tak sa v nej zníži tlak. Keďže vzduch obtekajúci vlak v tuneli má vyššiu rýchlosť ako vzduch obtekajúci vlak mimo tunela, bude v ňom nižší tlak. Po prechode vlaku do tunela sa zníži aj tlak vnútri vlaku, keďže nie je vzduchotesný. Vzhľadom na rýchlosť vlaku bude zmena tlaku vzduchu pomerne rýchla a výrazná, vplyvom čoho cestujúcim zaľahne v ušiach, teda tlak v ich strednom uchu sa nestihne v krátkom čase vyrovnať atmosférickému tlaku.

Tunel je širší a vyšší než vlak preto, aby bola medzi vlakom a tunelom dostatočná medzera pre prúdiaci vzduch a aby tak nebola spôsobená príliš veľká zmena tlaku. Keby bol okrem vlaku v tuneli priestor iba pre trakčné vedenie, vzduch by prechádzal práve iba týmto priestorom a tak by taktiež mohlo dôjsť k poškodeniu vedenia.

  1. V tejto rovnici tunel považujeme za vodorovný, a preto v nej nie je člen za potenciálnu energiu tekutiny.↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.