7. Dekoračné kmity vzorové riešenie

Zadanie

Terka si z nedávnej dovolenky priniesla bytovú dekoráciu – dreveného vtáka mávajúceho krídlami. Vták pozostáva z tela s hmotnosťou \(M\) a párom krídel, každé s hmotnosťou \(3m\). Krídla sú dlhé \(\ell\) a v tretine svojej dĺžky sú zahnuté nadol o uhol \(\ang{30}\). Krídla sú zavesené na nehmotných nitiach presne v miestach ohybu a telo je k nim pripevnené taktiež nehmotnými niťami na ich koncoch. Pri vychýlení tela vtáka z rovnovážnej polohy vo vertikálnom smere začne telo oscilovať hore-dole a vták bude mávať krídlami. Nájdite periódu mávania krídel vtáka, ak hmotnosť tela vtáka je \(M = \left(4\sqrt{3} - 1\right)m\). Predpokladajte, že amplitúda pohybu tela je ďaleko menšia než dĺžky jednotlivých nití.

Veľkým trikom v tomto zadaní je voľba hodnoty \(M\), ktorá nám veľmi uľahčí život. Musíme sa prehrabať hŕbou hnusnej algebry? Áno! Ale mohlo to byť horšie.

Začneme tým, že sa spýtame, aké stupne voľnosti má tento systém. Ako sa telo vtáka hýbe hore-dolu, krídla sa nakláňajú okolo dvoch bodov upevnenia spätým pohybom. Máme tu teda jeden voľný parameter – ten si prezieravo zvolíme ako uhol naklonenia krídla. Konkrétne sme si uhlom \(\theta\) označili, ktorý zviera spodná časť krídla so zvislicou – pomyselným predĺžením upevňovacieho lanka, ktoré je vždy rovnobežné s gravitačným zrýchlením:

Potom uhol, ktorý s hornou časťou zvislice zviera dlhšia časť krídla, je \(\theta + \frac{\pi}{6}\). Napokon výška najspodnejšieho bodu krídla, na ktorú je priviazané spodné lanko, sa s naším parametrom mení ako \(\frac{1}{3}l\cos\theta\). Tu vstupuje prvá aproximácia: samozrejme, ako sa krídlo otáča, spodné lanko sa tiež trochu vychyľuje zo zvislého smeru, čo trochu ovplyvňuje výšku vtáčieho tela – avšak my, inžinieri, povieme len, že spodné lanko je dostatočne dlhé na to, aby sme toto mohli zanedbať. A napokon uhlovú rýchlosť krídla označíme ako \(\omega\).

Aký je teda náš modus operandi? Nuž, vieme, že vták má nejakú stabilnú polohu zodpovedajúcu uhlu \(\theta_0\), okolo ktorého kmitá ako harmonický oscilátor; nájdeme teda potenciálnu a kinetickú energu ako funkcie výchylky a uhlovej rýchlosti – \(U(\theta), T(\theta, \omega)\) – a potom povieme, že v blízkosti stabilnej polohy je vták iba taký efektívny harmonický oscilátor s efektívnou tuhosťou \(k_f\) a efektívnou hmotnosťou \(m_f\) Jeho energie si teda vieme zapísať ako \[ \begin{aligned} U(\theta \approx \theta_0) &= U_0 + \frac{1}{2}k_f\left(\theta - \theta_0\right)^2 \\ T(\theta \approx \theta_0, \omega) &= \frac{1}{2} m_f \omega^2. \end{aligned} \qquad(1)\]

Toto položíme rovné nájdeným energiám v blízkosti stabilnej polohy a nájdeme \(k_f\) a \(m_f\). Potom klasicky pre harmonický oscilátor vieme, že perióda kmitu je \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m_f}{k_f}}. \qquad(2)\]

Začneme s potenciálnou energiou. Jedna spodná časť krídla má potenciálnu energiu \(U_1(\theta)\), ktorá sa rovná zvislej zložke polohy ťažiska krát hmotnosť časti krídla krát \(g\). Pre tyč dĺžky \(A\) otáčajúcej sa okolo konca je zvislá zložka polohy ťažiska jednoducho \(-\frac{1}{2}A\cos\theta\) (keďže ťažisko je v polovici) – u nás je dĺžka \(\frac{1}{3}l\). Teda \(U_1(\theta) = -\frac{1}{6}mgl \cos\theta\). Podobne je potenciálna energia jednej hornej časti krídla rovná \(U_2(\theta) = \frac{2}{3}mgl\cos{\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)}\), keďže má dĺžku \(\frac{2}{3} l\) a hmotnosť \(2m\). Pozor na znamienka: keď našej parametrizácii \(\theta\) rastie, \(U_1\) musí rásť a \(U_2\) (pre kladné \(\theta\)) musí klesať.

Teraz ešte pozrieme na potenciálnu energiu tela vtáka \(U_3(\theta)\). Tu už máme aproximáciu pre zvislú zložku polohy ťažiska, takže ju vynásobíme hmotnosťou a gravitačným zrýchlením a dostaneme \(U_3(\theta) = -\frac{1}{3}Mgl\cos\theta\). Keď to dáme dokopy, vidíme, že celková potenciálna energia je rovná \[ U(\theta) = 2\left[U_1(\theta) + U_2(\theta)\right] + U_3(\theta) = \left[ \frac{4}{3} m \cos{\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)} - \left(\frac{1}{3}M + \frac{1}{3}m\right)\cos\theta \right]lg. \qquad(3)\]

Teraz dosadíme hodnotu \(M = \left(4\sqrt{3} - 1\right)m\), použijeme súčtový vzorec pre kosínus, vyčíslime sínus a kosínus konštanty a získame \[ U(\theta) = -\frac{2}{3}mgl \left(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta\right). \qquad(4)\]

Teraz nájdeme stabilnú polohu \(\theta_0\). Toto sa dá nájsť položením celkového momentu sily rovnému nule, ale pre prípravu na to, čo príde neskôr, na to pôjdeme inak (samozrejme, s rovnakým výsledkom). Vieme, že stabilná poloha je v minime potenciálnej energie – a keď je nejaká funkcia v danom bode v minime, do prvého rádu sa v okolí toho bodu nemení. Teda v stabilnej polohe musí pre \(\theta_0\) platiť, že pre malú výchylku \(\diff\theta\) máme \(U(\theta_0 + \diff\theta) \approx U(\theta_0)\), ak využijeme aproximácie do prvého rádu (teda \(\sin\diff\theta \approx \diff\theta, \cos\diff\theta \approx 1\)). Počítame: \[ \begin{aligned} -\frac{2}{3}mgl\left(\sqrt{3}\cos\theta_0 + \sin\theta_0\right) &= -\frac{2}{3}mgl\left(\sqrt{3}\cos(\theta_0 + \diff\theta) + \sin(\theta_0 + \diff\theta)\right) \\ \sqrt{3}\cos\theta_0 + \sin\theta_0 &= \sqrt{3}\cos\theta_0\cos\diff\theta - \sqrt{3}\sin\theta_0\sin\diff\theta + \sin\theta_0\cos\diff\theta + \cos\theta_0\sin\diff\theta \\ 0 &= \left(\cos\theta_0 - \sqrt{3}\sin\theta_0\right)\diff\theta \\ \frac{\sin\theta_0}{\cos\theta_0} = \tan\theta_0 &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \theta_0 &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} \qquad(5)\]

Máme už potenciálnu energiu aj stabilnú polohu, nuž je čas nájsť kinetickú energu. Tu musíme zapojiť vedomosť o momente zotrvačnosti tenkej tyče dĺžky \(A\) a hmotnosti \(\mu\): keď rotuje okolo konca, je to \(I = \frac{1}{3}\mu A^2\). Pri uhlovej rýchlosti \(\omega\) je potom kinetická energia tyče rovná \(\frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{6}\mu A^2\omega^2\). Takýmito tyčami sú napríklad časti krídel: spodná časť má kinetickú energiu \(T_1(\theta, \omega) = \frac{1}{54}m l^2\omega^2\) a vrchná zasa \(T_2(\theta, \omega) = \frac{8}{54}m l^2\omega^2\). Rýchlosť tela vtáka je rovná zvislej zložke rýchlosti koncového bodu spodnej časti krídla: to je jeho dĺžka krát uhlová rýchlosť krát \(\sin\theta\) (aby to bola len zvislá zložka). Kinetická energia je potom štvorec tejto rýchlosti krát \(\frac{1}{2}M\); dokopy to dá \[ T_3(\theta, \omega) = \frac{1}{18}M\sin^2\theta l^2 \omega^2. \qquad(6)\]

Dokopy je to v okolí stabilného bodu \[ T(\theta \approx \theta_0, \omega) = 2 \left(T_1 + T_2\right) + T_3 = \frac{1}{3}ml^2\omega^2 + \frac{4\sqrt{3} - 1}{18}ml^2\sin^2\theta_0\omega^2 = \left(\frac{23}{72} + \frac{\sqrt{3}}{18} \right)ml^2\omega^2. \qquad(7)\]

Rovno vidíme, že v okolí stabilného bodu je efektívna hmotnosť rovná \[ m_f = \left(\frac{23}{36} + \frac{\sqrt{3}}{9} \right)ml^2. \qquad(8)\]

Aby sme našli efektívnu tuhosť, musíme si vyjadriť potenciálnu energiu ako funkciu výchylky \(\diff\theta\) – čiže presne to, čo už sme raz robili, len tentokrát využijeme aproximácie druhého rádu (teda \(\sin\diff\theta \approx \diff\theta, \cos\diff\theta\approx 1 - \frac{1}{2}\diff\theta^2\)). Z toho dostaneme \[ \begin{aligned} U(\theta_0 + \diff\theta) &= -\frac{2}{3}mgl\left( \sqrt{3}\cos\theta_0\cos\diff\theta - \sqrt{3}\sin\theta_0\sin\diff\theta + \sin\theta_0\cos\diff\theta + \cos\theta_0\sin\diff\theta \right) \\ &= -\frac{2}{3}mgl\left( \sqrt{3}\cos\theta_0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta_0\diff\theta^2 - \sqrt{3}\sin\theta_0\diff\theta + \sin\theta_0 - \frac{1}{2}\sin\theta_0\diff\theta^2 + \cos\theta_0\diff\theta \right) \\ &= U(\theta_0) + \left(\sqrt{3}\sin\theta_0 - \cos\theta_0\right)\frac{2}{3}mgl\diff\theta + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta_0 + \frac{1}{2}\sin\theta_0\right)\frac{2}{3}mgl\diff\theta^2 \\ &= U(\theta_0) + \frac{2}{3}mgl\diff\theta^2. \end{aligned} \qquad(9)\]

Lineárny člen podľa očakávania v blízkosti stabilnej polohy zmizne a z kvadratického člena usúdime, že \(k_f = \frac{4}{3}mgl\). A teda \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{3\left(\frac{23}{72} + \frac{\sqrt{3}}{18}\right) l}{2 g}}. \qquad(10)\]