6. Je to malý krok pre ľudstvo, ale veľký krok pre FKS vzorové riešenie

K problému pristúpime postupne, a teda kvalitatívne si rozoberieme, čo sa udeje. Ako je povedané v zadaní, úlomky raketky sa rozleteli do všetkých smerov. Tie, čo leteli priamo od Zeme, tesne unikli a nikdy sa už nevrátili, pričom slovo „tesne“ chcelo naznačiť, že mali práve toľko energie, aby sa im toto podarilo a ani o kúsok viac.

Samozrejme, kúsky, ktoré vyleteli smerom priamo na Zem, sa po priamke na Zem aj dostali. Otázne je, čo urobili kúsky, ktoré vyleteli pod nejakým netriviálnym uhlom \(\alpha\) voči spojnici raketky so Zemou. Pripomeňme si, že všetky kúsky vyleteli rovnakou počiatočnou rýchlosťou \(v_0\). Keďže kúsok letiaci priamo preč „tesne“ unikol, každý kúsok letel po parabolickej trajektórii.¹ Táto znalosť je síce príjemná a zrejme by sa dala dotiahnuť aj do kompletného riešenia, existuje však aj jednoduchší prístup.

V momente výbuchu raketky je celková energia každého úlomku \[ E = \frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{Mm}{d}. \qquad(1)\] Podľa zákona zachovania energie sa energia každého úlomku v čase nemení. Pozrime sa teda na úlomky, ktoré „tesne“ unikli. To sú tie, ktoré prišli do nekonečna (\(1 / r = 0\)) a na to museli využiť všetku svoju kinetickú energiu (\(v = 0\)). Preto mali tieto úlomky celkovú energiu \(E = 0\). No keďže všetky úlomky majú rovnakú celkovú energiu, tak pre každý platí, že \[ 0 = \frac{1}{2} mv_0^2 - G\frac{mM}{d}. \qquad(2)\] Vyjadrením \(v_0\) rovno zistíme, že \(v_0 = \sqrt{\frac{2GM}{d}}\).

Ako druhý použijeme zákon zachovania momentu hybnosti. Gravitačná sila smeruje do stredu Zeme, takže moment sily vzhľadom na tento stred musí byť nulový. Preto \[ |L| = |m \vec{v} \times \vec{r}| = mv_0 d |\sin\alpha|, \qquad(3)\] kde „\(\times\)“ značí vektorový súčin. Vtedy platí \(\left|\vec{v}\times\vec{r}\right| = \left|\vec{v}\right|\left|\vec{r}\right| \left|\sin{\theta}\right|\), kde \(\theta \in (\ang{0}, \ang{180})\) je uhol medzi vektormi \(\vec{v}\) a \(\vec{r}\), pričom \(\vec{r}\) smeruje zo stredu Zeme do úlomku.

Počas svojho letu sa niekedy úlomok dostane k Zemi najbližšie, povedzme do vzdialenosti \(r_m\) od stredu. Nás zaujíma, či \(r_m < R\) a úlomok narazí do Zeme; alebo či \(r_M > R\) a úlomok uletí.² V tomto bode bude samozrejme vektor rýchlosti \(\vec{v}\) kolmý na \(\vec{r}\), inak by sa úlomok od stredu vzďaľoval alebo k nemu približoval, a teda by nemohol byť najbližšie. Z toho nám vyjde, že v tomto bode \[ v_m r_m = v_0 d |\sin\alpha|. \qquad(4)\]

Dosadením do zákona zachovania energie \[ \frac{1}{2}mv_m^2 = G\frac{Mm}{r_m} \qquad(5)\] za \(v_m\) a vyjadrením \(r_m\) dostaneme \[ r_m = \frac{v_0^2 d^2 \sin^2 \alpha}{2GM} = d \sin^2 \alpha. \qquad(6)\]

Inými slovami, pre hraničný prípad \(\alpha = \alpha_h\), kedy \(r_m = R\) a úlomok sa tesne dotkne Zeme, platí \[ \sin\alpha_h = \sqrt{\frac{R}{d}}. \qquad(7)\]

Teraz už nám stačí vypočítať priestorový uhol \(\Omega\) pripadajúci tomuto planárnemu. Ak si to nepamätáme, po troche googlenia zistíme, že táto závislosť je \[ \Omega = 2\pi(1-\cos\alpha_h). \qquad(8)\]

Celý priestorový uhol je \(4\pi\), a tak na Zem dopadne podiel \(p\) úlomkov \[ p = \frac{\Omega}{4\pi} = \frac{1 - \sqrt{1 - R/d}}{2}. \qquad(9)\]