5. Fúkanie speedrun vzorové riešenie

Jaro pripojil bombičku na ventil a v okamihu nafúkal koleso. Keďže tento dej trval len veľmi krátko, môžeme predpokladať, že medzi plynom a okolím za ten okamih nestihlo dôjsť k tepelnej výmene – a teda môžeme „nafúknutie kolesa“ považovať za adiabatický dej. Adiabatický dej popisuje rovnica \[ pV^\kappa = \text{konšt}, \qquad(1)\] kde \(\kappa\) je Poissonova konštanta. Hodnotu konštanty na pravej strane vieme určiť z podmienok na začiatku, kedy bol tlak plynu \(p_0\) a objem plynu \(V_0\), preto \[ p_0 V_0^\kappa = \text{konšt}. \]

Z rovnice 1 tým pádom máme \[ pV^\kappa = p_0 V_0^\kappa. \qquad(2)\]

Je síce pekné, že poznáme rovnicu, podľa ktorej sa bude správať plyn, rovnica nám však nič nehovorí o teplote, ktorú by mal mať plyn na konci! V plyne však medzi objemom, tlakom a teplotou existuje vzťah, ktorý im nedovoľuje nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Ten vzťah nazývame stavová rovnica ideálneho plynu (a my náš plyn samozrejme budeme považovať za ideálny, Jaro by si do bombičky len tak hocijaký plyn nevzal) a hovorí nám, že \[ pV = NkT, \qquad(3)\] kde \(N\) je počet častíc plynu a \(k\) je Boltzmannova konštanta. Teraz si v rovnici adiabaty umelo vyrobíme súčin \(pV\) a dosadíme zaň z rovnice 3, čiže \[ pV^\kappa = pVV^{\kappa-1} = NkTV^{\kappa-1}, \] a teda \[ NkTV^{\kappa-1} = p_0 V_0^\kappa. \]

Čiže pre výslednú teplotu plynu platí \[ T = \frac{p_0 V_0^\kappa}{NkV^{\kappa-1}}, \] kde

• \(p_0\) je tlak plynu na začiatku deja (čiže ešte keď bol celý v bombičke),
• \(V_0\) je objem plynu na začiatku deja (keď bol celý v bombičke),
• \(V\) je objem plynu na konci deja (čiže keď vypĺňal objem kolesa a bombičky),
• \(N\) je počet častíc a
• \(k\) je Boltzmannova konštanta (ktorej hodnota je \(\num{1.38e23}\)).

Ak poznáme molárnu hmotnosť oxidu uhličitého \(M_m = \SI{44.01}{\gram\per\mole}\), potom počet mólov oxidu uhličitého je \(n = \frac{\SI{16}{\gram}}{\SI{44.01}{\gram\per\mole}} = \SI{0.364}{\mole}\) a jeden mól obsahuje \(N_A = \num{6.022e23}\) častíc, čiže počet častíc oxidu uhličitého v bombičke je \(N = \SI{0.364}{\mol} \cdot \SI{6.022e23}{\per\mole} = \num{2.192e23}\) častíc.

Predpokladáme, že Jaro šliape už tak dlho, že stihlo dojsť ku všetkým tepelným výmenám s okolím, a teda teplota bombičky a jej obsahu je rovnaká, ako teplota okolia. Vonku mohlo byť vtedy \(\SI{15}{\celsius} = \SI{288.15}{\kelvin}\). Ak poznáme teplotu plynu na začiatku deja, spolu s jeho tlakom na začiatku deja, potom veľkosť jeho objemu na začiatku vyrátame zo stavovej rovnice \[ V_0 = \frac{NkT_0}{p_0} \doteq \SI{0.000109}{\cubic\metre}. \]

Na konci deja bude plyn rovnomerne vypĺňať objem kolesa spolu s objemom bombičky, čiže objem na konci deja je \(V = V_0 + V_{\text{duše}}\). Jaro má kolesá s priemerom \(26\) palcov a šírku ráfika môžeme odhadnúť na \(\SI{5}{\centi\metre}\). Objem duše je potom približne objem valca, ktorý sme zohli do kruhu tak, aby sa jeho konce vzájomne dotkli, ktorého polomer podstavy je \(\SI{2.5}{\centi\metre}\) a výška \(2\pi \cdot 13\) palcov, pričom \(13\) palcov je približne \(\SI{33}{\centi\metre}\). Počítame \[ V_{\text{duše}} = \pi(\SI{2.5}{\centi\metre})^2 \cdot 2\pi \cdot \SI{33}{\centi\metre} \doteq \SI{0.004}{\cubic\metre}, \] čiže \[ V = V_0 + V_{\text{duše}} = \SI{0.000109}{\cubic\metre} + \SI{0.004}{\cubic\metre}. \]

Hodnota Poissonovej konštanty pre oxid uhličitý pri teplote okolo \(\SI{20}{\celsius}\) je približne \(\num{1.30}\). Po dosadení všetkých hodnôt nám teplota plynu na konci nafukovania vyjde \[ T = \frac{p_0 V_0^\kappa}{NkV^{\kappa-1}} = \SI{97}{\kelvin}. \]

To je približne \(-\SI{186}{\celsius}\), čo je naozaj málo. Z rovnice 3 vidíme, že objem plynu závisí od jeho teploty a tlaku ako \(V \sim \frac{T}{p}\). Plyn z bombičky sa teda rozopol kvôli tomu, že sa znížil jeho tlak, ale pokles teploty mal na objem opačný efekt. Vypočítajme preto, či plyn z bombičky dokáže vôbec vyplniť celý objem \(V = V_0 + V_{\text{duše}}\). Z rovnice 2 vypočítame tlak v duši \[ p = p_0 \left(\frac{V_0}{V}\right)^\kappa \doteq \SI{64}{\kilo\pascal}. \]

Vidíme, že tlak v duši je menší ako atmosférický \(p_a \doteq \SI{100}{\kilo\pascal}\). Preto sa duša nenafúkne na objem \(V = V_0 + V_{\text{duše}}\), ale na taký objem, aby tlak v nej bol rovný atmosférickému. Ak by v nej bol menší tlak, tlaková sila od atmosféry na povrch duše by bola väčšia ako tlaková sila od plynu v duši, a teda duša by sa stláčala. Preto, aby sme odpovedali na otázku zo zadania, musíme vypočítať teplotu plynu po adiabatickom rozpínaní na tlak \(p_a\). Ak označíme \(V_a\), \(T_a\), objem, resp. teplotu plynu po tomto rozopnutí, pracujeme s rovnicou adiabatického deja a stavovej rovnice v tvare \[ p_0 V_0^\kappa = p_a V_a^\kappa \qquad \text{a} \qquad p_a V_a = N k T_a. \] Opäť si v rovnici adiabaty vyrobíme súčin \(p_a V_a\), aby sme zaň dosadili zo stavovej rovnice, teda \[ \begin{aligned} p_0 V_0^\kappa &= p_a V_a^\kappa \\ p_0 V_0^\kappa p_a^{\kappa - 1} &= \left(p_a V_a\right)^\kappa \\ p_0 V_0^\kappa p_a^{\kappa - 1} &= \left(N k T_a\right)^\kappa \\ T_a &= \frac{\left(p_0 V_0^{\kappa} p_a^{\kappa - 1}\right)^{\frac{1}{\kappa}}}{Nk} \doteq \SI{105}{\kelvin}, \end{aligned} \] čo je odpoveď, ktorú sme hľadali.

Aj teraz nám vyšla veľmi nízka teplota. Ak by sme sa dotkli kolesa, ruka by nám ale určite nezamrzla. Aj keď je vyprázdnenie bombičky veľmi rýchle, predsa len počas neho dochádza k tepelnej výmene a zohrievaniu plynu. Navyše, ak sa dotkneme kolesa, dotýkame sa gumy, ktorú plyn síce zvnútra ochladí, ale preto ju aj okolie začne zohrievať. Okrem toho, Jaro zo svojich skúseností vie, že jedna bombička postačuje iba na dofúknutie mäkkého kolesa, nie nafúknutie úplne prázdnej duše, a teda plyn z bombičky sa zmieša s plynom v duši. V praxi si teda nami vypočítanú teplotu rukami nedokážeme ohmatať.