4. Statický pokrok vzorové riešenie

Zadanie

Matúš cez leto chodil veľa po mestách, až ho to začalo nudiť. Tu zrazu si ale všimol neďaleko stojaci žeriav, ktorý ho zaujal tým, že nemá žiadne protizávažie. Namiesto toho jeho rameno vyrovnáva lano uchytené v zemi. Žeriav pozostáva z nohy a ramena s dĺžkou \(2l\) a dĺžkovou hustotou \(\lambda\). Na ramene je vo vzdialenosti \(d\) zavesené závažie hmotnosti \(m\). Lano je upevnené v strede ramena, ďalej prevlečené cez kladku na vedľajšom ramene (zanedbateľnej hmotnosti) a následne pokračuje k zemi rovnobežne s nohou žeriavu. Aká musí byť závislosť dĺžky \(s\) vedľajšieho ramena od uhlu \(\varphi\), ktorý zviera s hlavným ramenom, na to, aby bol výsledný moment hlavného ramena nulový?

Keďže sa celý žeriav nehýbe, musí platiť rovnosť síl a momentov síl. Ak by sme si v celej sústave odmysleli lano, je jasné, že pri päte žeriavu bude pôsobiť moment \[ M_p = mgd+2l^2\lambda g. \qquad(1)\]

To, že sa žeriav nezrúti, ale ostane stáť je preto, že zem pôsobí silou \(T\) na lano a táto sila má moment vzhľadom na pätu žeriavu. Preto pre rovnosť momentov dostávame \[ T\cos(\ang{180} -\phi) s = -T s \cos\phi = mgd + 2 l^2 \lambda g \quad \Rightarrow \quad T = -\frac{mgd +2l^2\lambda g}{s \cos\phi}. \qquad(2)\]

Nulovým momentom musí pôsobiť zo zadania aj rameno v kĺbe žeriavu. Inými slovami, moment síl na ramene musí byť nulový vzhľadom na kĺb. Teda musí platiť \[ mgd +2l^2\lambda g = Tl\sin(\alpha) \quad \Rightarrow \quad \sin(\alpha) = -\frac{s\cos\phi}{l}, \qquad(3)\] kde \(\alpha\) je uhol medzi ramenom a lanom.

Ostáva nám vyjadriť \(\sin(\alpha)\) pomocou \(s\) a \(\phi\) aj z geometrie žeriavu. Keďže \(\sin\) je protiľahlá deleno prepona, bude najšikovnejšie si ho vyjadriť ako pomer dvoch strán trojuholníka. To vieme urobiť z trojuholníka, ktorého prepona je tvorená lanom medzi hlavným a vedľajším ramenom. Dĺžku protiľahlej strany získame ako \(s\sin\phi\) a preponu z kosínusovej vety. Dostávame teda \[ \sin(\alpha) = \frac{s\sin\phi}{\sqrt{l^2 + s^2 - 2ls\cos\phi}}, \qquad(4)\] čo po dosadení do rovnice 3, osamostatnení odmocniny a umocnení dáva \[ l^2 \tan^2\phi = l^2 + s^2 - 2ls\cos\phi. \qquad(5)\]

Riešením kvadratickej rovnice pre \(s\) dostávame \[ \begin{aligned} s &= \frac{2l\cos\phi \pm \sqrt{4l^2\cos^2\phi + 4l^2(\tan^2\phi - 1)}}{2} = l \left(\cos\phi \pm \sqrt{\frac{\cos^4\phi + \sin^2\phi - \cos^2\phi}{\cos^2\phi}}\right) \\ &= l \left(\cos\phi \pm \frac{\sqrt{\cos^2\phi \left(\cos^2\phi - 1\right) + \sin^2\phi}}{\cos\phi}\right) = l \left(\cos\phi \pm \frac{\sqrt{\cos^2\phi(-\sin^2\phi) + \sin^2\phi}}{\cos\phi}\right) \\ &= l \left(\cos\phi \pm \frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}\right) = l \left(\frac{\cos^2\phi \pm \sin^2\phi}{\cos\phi}\right) \end{aligned} \qquad(6)\]

Z toho dostávame dve možné riešenia pre \(s\) a to \[ s = \frac{l}{\cos\phi} \qquad \text{resp.} \qquad s = l\frac{\cos 2\phi}{\cos\phi}. \qquad(7)\]

Vieme, že máme očakávať uhly z intervalu \(\ang{90}\) až \(\ang{180}\), lebo lano musí byť na opačnej strane nohy ako hlavné rameno. V tomto intervale je prvý výraz vždy záporný, a teda ho môžeme vylúčiť ako nefyzikálne riešenie.

Zaujímavé pozorovanie je, že má zmysel uvažovať len uhly z intervalu \(\ang{90}\) až \(\ang{135}\). Pre väčšie uhly klesne \(s\) pod \(\num{0}\). Pre krátkosť vzoráku dôvody tohto faktu necháme na vaše premyslenie.