3. I am speed vzorové riešenie

V zadaní sa uvádza, že jediná odporová sila, ktorú berieme do úvahy, je odpor vzduchu. Odpor vzduchu je úmerný druhej mocnine rýchlosti okolitého vzduchu \[ F_o = \frac{1}{2} C \rho S v_r^2, \] kde \(\rho\) je hustota vzduchu, \(S\) je plocha prierezu, \(C\) je konštanta, ktorá závisí od tvaru telesa a \(v_r\) je rýchlosť vzduchu vzhľadom na teleso.

Označme si teraz výkon formuly \(P\). Vieme, že Mözög dosiahol maximálnu rýchlosť, teda už ďalej nezrýchľuje. Jeho kinetická energia sa teda nemení. Preto energia dodaná z motora je rovná energetickým stratám spôsobených odporom vzduchu. Energia, ktorú dodá motor za čas \(\fdiff t\), je \(E = P\cdot\fdiff t\). Naopak energia, ktorú formula stratí kvôli odporu vzduchu (teda práca, ktorú vykoná pri rozrážaní vzduchu) za rovnaký čas na dráhe dlhej \(\fdiff s\) je \(E = F \cdot \fdiff s = F \cdot v_f \cdot \fdiff t\), kde \(v_f\) je rýchlosť formuly voči zemi.

Z tohto si vieme vyjadriť maximálnu rýchlosť v závislosti od výkonu motora ako \[ \begin{aligned} P \cdot \fdiff t &= F \cdot v_f \cdot \fdiff t, \\ P &= F \cdot v_f = \frac{1}{2} C \rho S v_r^2 \cdot v_f, \\ v_r^2 \cdot v_f &= \frac{2P}{C \rho S}. \end{aligned} \qquad(1)\]

Keď Mözög šoféruje za bezvetria rýchlosťou \(v_b\), rýchlosť vetra relatívne k nemu je tiež \(v_b\), teda \[ v_b^3 = \frac{2P}{C \rho S}. \]

Ak na dráhe začne fúkať vietor rýchlosťou \(w\), označíme maximálnu rýchlosť formuly \(u\). Potom \(v_r\) bude \(u + w\), a preto platí \[ (u + w)^2 \cdot u = \frac{2P}{C \rho S} = v_b^3. \qquad(2)\]

Toto je kubická rovnica, ktorá jasne určuje maximálnu rýchlosť pri danej rýchlosti vetra. Jej riešenie nie je nijak pohľadné, môžete si ho pozrieť tu. Ešte rýchla kontrola, či riešenie nie je na prvý pohľad nesprávne – skúsime dosadiť za \(w = 0\). Vtedy \(u^3 = v_b^3\), teda \(u = v_b\), čo sme čakali.

Vidíme, že nám stačí poznať maximálnu rýchlosť za bezvetria a rýchlosť vetra, aby sme vedeli vyjadriť maximálnu rýchlosť. Nepotrebujeme teda poznať prierez formuly, jej aerodynamiku, či hustotu vzduchu, dôležité nakoniec je iba to, že výkon je konštantný a odpor je úmerný druhej mocnine rýchlosti.