1. Rádová úloha vzorové riešenie

Úloha obsahuje sedem konkrétnych objektov resp. javov s hodnotami \(A\) a \(B\), ku ktorým treba nájsť objekt, resp. jav s hodnotou \(C\) tak, aby platilo, že pomer \(A:B\) je približne rovný pomeru \(B:C\). Môžeme si teda napísať rovnosť \[ \frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad(1)\]

Neznámou je len veličina \(C\). Vyjadríme ju teda z rovnice 1 ako \[ C = \frac{B^2}{A}. \qquad(2)\]

V časti zadania a) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer hmotnosti mravca k hmotnosti lietadlovej lode. Hmotnosť mravca má hodnotu približne \(1\) až \(5\) miligramov. Hmotnosť lietadlovej lode má hodnotu \(\SI{100000}{\tonne}\). Hodnota \(C\) teda bude \[ C = \frac{\left(\num{1.e8}\right)^2}{\num{1.e-6}}\si{\kilo\gram} = \SI{1.e22}{\kilo\gram}. \qquad(3)\]

Hmotnosť mravca je v niektorých zdrojoch udávaná od \(1\) do \(\SI{150}{\milli\gram}\). V prípade,že by sme použili tú najväčšiu možnú hmotnosť, \(C\) by nám vyšlo rovné \(\SI{6.67e-19}{\kilo\gram}\), takže pre \(C\) sú prípustné hodnoty od \(\SI{1.e19}{\kilo\gram}\) do \(\SI{1.e22}{\kilo\gram}\). Hmotnosť v tomto rozpätí majú napríklad Mesiac, Pluto alebo viaceré ďalšie mesiace či trpasličie planéty.

V časti zadania b) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer \(\SI{1}{\milli\meter}\) k vzájomnej vzdialenosti Zeme a Mesiaca. Stredná vzdialenosť od stredu Zeme do stredu Mesiaca je \(\SI{384399}{\kilo\meter}\). Obdobným spôsobom, ako v časti a) vypočítame hodnotu \(C\). Samozrejme, nesmieme zabudnúť najskôr hodnoty \(A\) a \(B\) premeniť na rovnaké jednotky. Preto sa \(C\) rovná \(\SI{1.47e20}{\meter}\). Rádovo rovnako veľká vzdialenosť je napríklad priemer našej Galaxie, zhruba \(\SI{8.14e20}{\meter}\)).

V časti zadania c) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer rýchlosti svetla k rýchlosti auta na diaľnici. Rýchlosť svetla je \(\SI{299792458}{\meter\per\second}\). Rýchlosť auta na diaľnici nech je \(\SI{110}{\kilo\meter\per\hour}\). Opäť rovnakým spôsobom vypočítame hodnotu \(C\). Tá sa bude rovnať \(\SI{3.11e-6}{\meter\per\second}\). Napríklad sasanky sa pohybujú rýchlosťou asi \(\SI{1}{\centi\meter\per\hour}\), čo je \(\SI{2.78e-6}{\meter\per\second}\).

V časti zadania d) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer povrchu zemskej súše k povrchu futbalového ihriska. Zemská súš má rozlohu \(\SI{1.489e8}{\kilo\meter\squared}\). Futbalové ihrisko má rozmery \(\SI{105}{\metre} \times \SI{68}{\meter}\). Zaberá teda \(\SI{7140}{\meter\squared}\). Opäť rovnakým spôsobom vypočítame hodnotu \(C\). Taktiež opäť nesmieme zabudnúť hodnoty \(A\) a \(B\) premeniť na rovnaké jednotky. Hodnota \(C\) bude \(\SI{3.42e-7}{\meter\squared}\). Po vydelení danej hodnoty číslom \(\pi\) a následnom odmocnení dostaneme \(\SI{3.3e-4}{\meter}\), teda zhruba \(\SI{0.3}{\milli\meter}\). Priemer kruhu zaberajúceho plochu \(C\) by teda bol \(\SI{0.6}{\milli\meter}\). Takýto priemer má napríklad zvárací drôt.

V časti zadania e) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer dĺžky trvania ultrakrátkeho laserového záblesku k jednej sekunde. Ultrakrátky laserový záblesk trvá rádovo \(\SI{1.e-12}{\second}\) alebo menej. Najkratší vytvorený laserový záblesk trval \(\SI{1.e-18}{\second}\). V závislosti od zvoleného \(A\) môže mať \(C\) hodnoty od \(\SI{1.e12}{\second}\) (zhruba \(\num{30000}\) rokov, napríklad vek najstarších figuratívnych jaskynných malieb v Európe) do \(\SI{1.e18}{\second}\) (\(\num{3.17e10}\) rokov, zhruba trojnásobok súčasného veku vesmíru).

V časti zadania f) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer hmotnosti zrnka piesku k hmotnosti Zeme. Zrnko piesku váži zhruba \(\SI{4.e-6}{\kilo\gram}\). Zem má hmotnosť \(\SI{5.97e24}{\kilo\gram}\). Hodnota \(C\) bude rádovo \(\SI{8.91e54}{\kilo\gram}\). Najbližšie k tomu má hmotnosť všetkej obyčajnej hmoty v pozorovateľnom vesmíre, t. j. \(\SI{1.6e53}{\kilo\gram}\).

V časti zadania g) máme ako pomer \(A\) k \(B\) uvedený pomer jasností Slnka a Mesiaca. Hustota toku žiarenia, značená ako \(F\) je veličina, ktorá udáva množstvo energie, ktorá prejde jednotkovou plochou za jednotku času (\(\si{\watt\per\meter\squared}\)). V tejto časti zadania máme vlastne ako pomer \(A\) k \(B\) uvažovať pomer hustôt toku žiarenia prichádzajúcich na Zem zo Slnka a Mesiaca. Zdanlivá magnitúda je miera jasnosti hviezdy alebo iného astronomického objektu. Zdanlivé magnitúdy astronomických telies, ako je napríklad Slnko a Mesiac, vieme ľahko vyhľadať. Pomer intenzít vyžarovania dvoch objektov môžeme zistiť s pomocou vzťahu \[ \frac{F_A}{F_B} = 10^{\frac{m_A-m_B}{-2.5}}, \qquad(4)\] kde \(F_A\) a \(F_B\) sú hustoty toku žiarenia telies \(A\) a \(B\) a \(m_A\) a \(m_B\) sú ich zdanlivé magnitúdy.

Ak by sme napríklad za \(m_A\) dosadili číslo \(10\) a za \(m_B\) číslo \(\num{5}\), pomer \(F_B\) k \(F_A\) by nám vyšiel rovný \(\num{100}\). Z toho je možné vidieť, že ak máme dva objekty \(A\) a \(B\) a ak objekt \(B\) má magnitúdu o \(\num{5}\) väčšiu než objekt \(A\), z objektu \(B\) k nám prichádza stokrát menej energie než z objektu \(A\). Zároveň ak by objekt \(C\) mal magnitúdu o \(\num{5}\) väčšiu než objekt \(B\), objekt \(C\) by bol stokrát menej jasný než objekt \(B\). Z toho je vidieť, že ak pre intenzity vyžarovania objektov \(A\), \(B\), \(C\) platí, že \(F_A:F_B=F_B:F_C\), pre ich magnitúdy platí: \(m_A-m_B=m_B-m_C\). Z rovnice si vyjadríme \(m_C\) \[ m_C = 2m_B - m_A. \qquad(5)\]

Zdanlivé magnitúdy Slnka a Mesiaca vieme ľahko vyhladať. Zdanlivá magnitúda Slnka je rovná \(\num{-26.74}\) a zdanlivá magnitúda Mesiaca v splne je rovná \(\num{-12.74}\). Hodnota \(C\) teda bude \[ m_C = 2\left(\num{-12.74}\right) - \left(\num{-26.74}\right) = \num{1.26}. \qquad(6)\]

Príkladom objektu \(C\) môže byť napríklad hviezda Deneb, ktorá má zdanlivú magnitúdu rovnú \(\num{1.25}\).