6. Unterwassermann vzorové riešenie

Zadanie

Patrik sa dal na potápanie. Pozná však známe príslovie: „Raz meraj a dvakrát nevstúp do tej istej rieky.“¹ Preto pred svojím pokusom o šnorchlovanie skúša, ako to vlastne funguje.

Zobral si U-trubicu, ktorá mala na jednom konci prierez \(S_1\) a na druhom prierez \(S_2\), pričom vzdialenosť stredov otvorov bola \(h\). Jeden koniec trubice je ponorený pod vodou a druhý je nad hladinou. S pripraveným šnorchlom by teraz Paťo chcel vedieť, ako sa môže pohybovať. Ako fyzik vie, že najjednoduchší je rovnomerný priamočiary pohyb. Akou silou vo vodorovnom smere má ťahať šnorchel, aby sa pohyboval konštantnou rýchlosťou \(v\), ak jeho dolný otvor je v hĺbke \(d\)?

Vodu pokladajte za ideálnu kvapalinu a odporovú silu zanedbajte.

---

1. Je z tých prísloví trochu zmätený…↩︎

Nebudeme chodiť okolo horúcej kaše a poďme Patrikovi pomôcť. S fyzikou. Vysvetľovať mu príslovia nemá zmysel. Každý predsa vie, že to má byť „\(N\)-krát meraj a raz vyhodnoť chyby merania“.

Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že keď ťaháme trubicu rýchlosťou \(v\), voda do nej vteká práve touto rýchlosťou a výtokovú rýchlosť \(u\) na opačnom konci jednoducho dopočítame z rovnice kontinuity \(S_{1}v=S_{2}u\). Je to však naozaj tak? Predstavme si, že trubica je veľmi vysoká. Len ťažko by sme verili, že by voda vytekala z trubice rýchlosťou \(u=\frac{S_{1}}{S_{2}}v\) bez ohľadu na výšku trubice.

Vtip je v tom, že nech sa to akokoľvek zdá byť neintuitívne, voda do trubice vteká rýchlosťou \(w\leq v\) vzhľadom na trubicu a vyteká z nej rýchlosťou \(u=\frac{S_{1}}{S_{2}}w\), taktiež vzhľadom na trubicu. Musí totiž platiť aj Bernoulliho rovnica písaná vo vzťažnej sústave spojenej s trubicou \[ \frac{1}{2}\varrho w^{2}+p_{1}=\frac{1}{2}\varrho u^{2}+h\varrho g+p_{2}, \] kde \(p_{1}\) je tlak v mieste dolného otvoru trubice a \(p_{2}\) tlak v mieste horného otvoru. Tlak \(p_{2}\) je rovný atmosférickému tlaku \(p_{\mathrm{atm}}\), tlak \(p_{1}\) je náročné určiť priamo vzhľadom na komplikované procesy v mieste vstupu vody do trubice. Čo však vieme urobiť, je písať Bernoulliho rovnicu v mieste skôr po prúdnici, ešte ďaleko pred vstupom vody do trubice. Tam sa voda pohybuje rýchlosťou \(v\)¹ pri tlaku \(p_{0}=p_{\mathrm{atm}}+d\varrho g\). Potom \[ \frac{1}{2}\varrho v^{2}+p_{\mathrm{atm}}+d\varrho g=\frac{1}{2}\varrho u^{2}+h\varrho g+p_{\mathrm{atm}}. \] Odtiaľ \[ u=\sqrt{v^{2}-2h^{\prime}g}\textrm{, kde }h^{\prime}=h-d. \] Následne z rovnice kontinuity rýchlosť vody na vstupe do trubice vzhľadom na ňu je \[ w=\frac{S_{2}}{S_{1}}\sqrt{v^{2}-2h^{\prime}g}. \]

Keď už vieme, akou rýchlosťou voda cez trubicu prúdi, nič nám nebráni dopočítať hľadanú silu. Za čas \(\delta t\) vtečie do trubice a vytečie z nej voda s hmotnosťou \(\delta m=\varrho S_{1}w\delta t\). Počas pobytu vody v trubici sa zmení jej rýchlosť o \(u+w\), takže jej musíme udeliť impulz² \[ \delta I=\delta m\left(u+w\right)=\varrho S_{2}\left(1+\frac{S_{2}}{S_{1}}\right)\left(v^{2}-2h^{\prime}g\right)\delta t, \] no a podľa prvej impulzovej vety \[ F=\frac{\delta I}{\delta t}=\varrho S_{2}\left(1+\frac{S_{2}}{S_{1}}\right)\left[v^{2}-2\left(h-d\right)g\right]. \]