4. Red light, green light vzorové riešenie

Označme si počiatočnú rýchlosť Kvíkovho auta ako aj rýchlosť oboch áut po ukončení zrýchľovania \(v\), zrýchlenie áut \(a\), ich spomalenie \(d\) a čas, kedy naskočí zelená, meraný od začatia brzdenia \(t_0\). Poďme sa najskôr zamyslieť nad tým, ako museli vyzerať priebehy rýchlostí jednotlivých áut, a zakreslime si ich do grafu.

Začnime autom stojacim na križovatke. To má až do času \(t_{0}\) nulovú rýchlosť, potom do času \[ t_1 = t_0 + \frac{v}{a} \qquad{(1)}\] rovnomerne zrýchľuje a následne sa pohybuje konštantnou rýchlosťou \(v\).

Kvíkovo auto sa pohybuje do času \(t = 0\) rýchlosťou \(v\), kedy začne brzdiť so spomalením \(d\). V čase \(t_0\) naskočí zelená. Vtedy má rýchlosť \(v_0 = v - dt_0\). Ak by Kvík brzdiť neprestal, zastal by v čase \[ t_2 = \frac{v}{d}. \qquad{(2)}\]

Zo zadania vieme, že by zastal tesne za autom stojacom na križovatke, keby sa to už skôr nepohlo. To ale znamená, že dráha, ktorú by prešiel pri brzdení medzi časmi \(t_0\) a \(t_2\) zodpovedá vzdialenosti, v ktorej boli autá od seba v momente, keď naskočila zelená. Tú ale vieme vypočítať jednoducho, pretože dráha zodpovedá ploche pod grafom, teda \[ D = \frac{1}{2}\left(t_2 - t_0\right) v_0 = \frac{\left(v - dt_0\right)^{2}}{2d}. \]

Zamyslime sa, ako sa ďalej mohla vyvíjať rýchlosť Kvíkovho auta. Na základe niekoľkých jednoduchých úvah dostaneme pár obmedzení:

• Kvík musí spomaliť aspoň na takú rýchlosť, aby v každom momente bol za autom idúcim pred ním.
• Najvyššia bezpečná rýchlosť, na ktorú musí spomaliť, zrejme zodpovedá situácii, keď po opätovnom zrýchlení oboch áut na maximálnu povolenú rýchlosť bude tesne za ním.
• Keď je Kvíkova rýchlosť vyššia ako rýchlosť druhého auta, Kvík toto auto dobieha, keď je menšia, druhé auto sa od Kvíka vzďaľuje, keď je rovnaká, vzájomná vzdialenosť áut sa nemení. Z toho vyplýva, že v optimálnom scenári v zmysle predchádzajúceho bodu nesmie Kvík dosiahnuť maximálnu rýchlosť neskôr ako druhé auto. Ak by sa tak stalo, znamenalo by to, že v nejakom časovom úseku pred dosiahnutím ustáleného stavu by sa druhé auto pohybovalo rýchlejšie, ale keďže optimálny scenár zodpovedá situácii, keď sú autá tesne za sebou, Kvík by už narazil do auta pred sebou.
• Kvík môže zrýchľovať s ľubovoľným zrýchlením, nie však väčším ako \(a\). Podobne môže spomaľovať s ľubovoľným spomalením, nanajvýš však rovným \(d\). Ak však nebude zrýchľovať/spomaľovať s maximálnymi zrýchlením/spomalením, bude mu rovnaká zmena rýchlosti trvať dlhšie a prejde pri tom väčšiu dráhu, takže bude vo výsledku musieť spomaliť na menšiu rýchlosť, čiže sa mu to neoplatí.
• Ak nájdeme nejaký vyhovujúci časový priebeh rýchlosti Kvíkovho auta a chceli by sme ho optimalizovať tým, že niekde zvýšime rýchlosť, na inom mieste ju musíme zase znížiť. Z toho vyplýva, že optimálny priebeh je rovnomerný pohyb, pretože konštantnú rýchlosť už takto nevieme ďalej optimalizovať.

S týmito poučeniami sa môžeme vrátiť k popisovaniu Kvíkovej rýchlosti. Vieme, že v čase \(t_0\) má rýchlosť \(v_0\). Ak by \(v_{0}\) mala byť najmenšia rýchlosť, ktorú počas svojho pohybu dosiahne, teda aby nemusel ešte viac spomaliť, prešiel by aspoň dráhu, ktorá zodpovedá rovnomernému pohybu rýchlosťou \(v_0\) až do času \[ t_{3} = t_0 + \frac{v_0}{a} = t_0 + \frac{v - dt_0}{a}, \qquad{(3)}\] v ktorom sa jeho rýchlosť vyrovná s rýchlosťou druhého auta. Aby to bolo možné, nesmie byť táto dráha v porovnaní s dráhou druhého auta za rovnaký čas dlhšia o viac než \(D\). Rozdiel dráh je rovný rozdielu plôch pod grafmi, teda \[ \begin{aligned} D & \Must{\geq} \frac{1}{2}\left(t_3 - t_0\right)v_0, \\ \frac{\left(v - dt_0\right)^{2}}{2d} &\geq \frac{\left(v - dt_0\right)^2}{2a} \\ a &\leq d, \end{aligned} \qquad{(4)}\] čo zjavne neplatí. To znamená, že Kvík musí spomaliť ešte na nižšiu rýchlosť než \(v_0\).

Poučení z našich úvah vieme, že Kvík musí spomaľovať s maximálnym spomalením \(d\) až na minimálnu rýchlosť – označme ju \(v_{m}\) – potom sa pohybovať rovnomerným pohybom a nakoniec rovnomerne zrýchľovať so zrýchlením \(a\), takže teraz už vieme dokončiť graf rýchlosti Kvíkovho auta. Do času \[ t_4 = \frac{v - v_m}{d} \qquad{(5)}\] spomaľuje na rýchlosť \(v_{m}\), potom sa pohybuje touto rýchlosťou až do času \[ t_5 = t_1 - \frac{v - v_m}{a} = t_0 + \frac{v_m}{a}, \qquad{(6)}\] kedy sa rýchlosti oboch áut vyrovnajú a autá budú tesne za sebou. Následne obe autá spolu zrýchľujú so zrýchlením \(a\), až dosiahnu maximálnu rýchlosť \(v\) v čase \(t_1\).

Teraz nám už zostáva len určiť rýchlosť \(v_{m}\). Tú dostaneme z podmienky, že v čase \(t_5\) budú autá tesne za sebou. Aby sa tak stalo, musí Kvík medzi časmi \(t_0\) a \(t_5\) prejsť práve o \(D\) väčšiu dráhu. Ako sme už raz hovorili, rozdiel dráh je rovný rozdielu plôch pod grafmi, čiže \[ \fdiff s = \frac{1}{2}\left(v_0 - v_m\right)\left(t_4 - t_0\right) + \frac{1}{2}v_m \left(t_5 - t_0\right) = \frac{\left(v - v_m - dt_0\right)^2}{2d} + \frac{v_m^2}{2a}. \qquad{(7)}\] Dostávame teda podmienku \[ \begin{aligned} D &= \fdiff s, \\ \frac{\left(v - dt_0\right)^2}{2d} &= \frac{\left(v - v_m - dt_0\right)^2}{2d} + \frac{v_m^2}{2a}, \\ \frac{\left(v - dt_0\right)^2}{2d} &= \frac{\left(v - dt_0\right)^2}{2d} - \frac{\left(v - dt_0\right) v_m}{d} + \frac{v_{m}^{2}}{2d} + \frac{v_m^2}{2a}, \\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{d}\right)v_m^2 &= \frac{\left(v - dt_0\right)v_m}{d} \\ v_m &= \frac{2\left(v - dt_0\right)}{1 + \frac{d}{a}}. \end{aligned} \qquad{(8)}\]

Konečne sme našli hľadanú rýchlosť. Pre hodnoty zo zadania \(v_m = \SI{10}{\metre\per\second} = \SI{36}{\kilo\metre\per\hour}\).