3. Otáznik v otázke vzorové riešenie

Zadanie

Kubko trénuje rátanie rozličných odporových zapojení na svoju prednášku na sústredko. Vždy si nakreslí nejakú schému zapojenia a položí si nejakú zásadnú otázku, napríklad „Aký veľký prúd preteká týmto odporom?“.

S poslednou schémou si ale nevie rady. Nakreslil vám ju preto na obrázok. Všetky zdroje nesú napätie \(U_z\). Všetky rezistory (vrátane toho označeného otáznikom) majú odpor \(R\). Otázku uhádnete z otázniku. Aká je veľkosť prúdu pretekajúceho rezistorom označeným otáznikom?

K tejto úlohe sa dalo pristupovať mnohými spôsobmi. Prvé, čo možno uvidieť je, že niektorými vetvami nebude tiecť vôbec žiaden prúd. Týmto a prekresľovaním schémy som začal i ja – rýchlo som však došiel na to, že sa nikam nedostanem. Bolo preto treba vytiahnuť silnú zbraň, ktorej sme sa možno chceli vyhnúť.

Prv, než budeme čokoľvek rozoberať bližšie, pomenujme si uzly obvodu písmenkami – potom napríklad \(U_{GL}\) je napätie medzi bodmi G a L, a je jasné, že napríklad \(U_{GL} = U_z\). No a obdobne \(I_{GL}\) bude prúd medzi týmito bodmi – ak je kladný, prúd tečie v smere GL, ak je záporný, prúd tečie naopak.

Kirchhoffove zákony

Ide o dve jednoduché tvrdenia: Prvé hovorí, že z každého uzla musí vytekať toľko elektrického prúdu, koľko doň vteká. Napríklad pre bod \(J\) bude tento zákon vyzerať ako \(I_{IJ} + I_{FJ} + I_{KJ} + I_{LJ} = 0\). Pripomeňme, ak je napríklad \(I_{KJ}\) kladné, prúd tečie smerom do \(J\), ak záporné, prúd tečie smerom z \(J\).

Druhé tvrdenie popisuje napätia na spotrebičoch a zdrojoch v slučke: koľko napätia je na zdrojoch, toľko úbytku musí byť na spotrebičoch. Napríklad pre slučku \(CGHEFC\) bude platiť \(U_{CG} + U_{GH} + U_{HE} + U_{EF} + U_{FC} = 0\) – ak je zdroj v smere našej slučky, počítame mu kladné napätie; ak je zdroj proti smeru slučky, jeho napätie berieme ako záporné.

No a tieto dva zákony sú previazané ešte zákonom Ohmovym – napríklad bude platiť \(I_{HI} = \frac{U_{HI}}{R_{HI}}\).

Nepekné riešenie

Ak si vypíšeme všetky Kirchhoffove rovnice pre všetky slučky a uzly, dostaneme niečo ako \(n\) rovníc o \(n\) neznámych, ktoré vieme riešiť. Zámerne som vynechal povzbudivé slovíčko „ľahko“ – zdravá miera sebalásky mi zabránila to riešiť takto, no odhadol by som hodnotu \(n \approx 15\) a to na riešenie vôbec nevyzerá príjemne, takýto postup by som sa nebál nazvať fyzikálnym bruteforcovaním.

Príjemnejšie riešenie

Hneď vidno, že ak nájdeme slučku ako napríklad \(IEFJ\), teda takú, ktorá má len jeden rezistor s neznámym napäťovým úbytkom, Kirchhoffov zákon pre slučku bude vcelku príjemný. Napríklad pre slučku \(IEFJ\) hneď vidno, že napäťový úbytok na rezistore bude \(U_{EF} = U_z\).

Ak prv vypočítame napäťový úbytok na rezistore \(CF\) pomocou slučky \(CGLJFC\), zistíme, že tento bude \(3U_z\). Potom sa stačí pozrieť na slučku \(CFJKDC\) – súčet zdrojových napätí je tu nulový a tak súčty spádov napätia na rezistoroch musia byť nulové a preto na otázničkovom rezistore toto bude \(-3 U_z\). (Veľkosťou rovnako, ako na \(CF\), len prúd tečie opačne.) No a veľkosť prúdu teda bude \(\|{I}\|=\|{\frac{U}{R}}\|=\frac{3U_z}{R}\).

WOW riešenie

Vezmime si slučku \(CGLJKDC\). Napäťový úbytok na všetkých spotrebičoch spolu musí byť rovnaký ako súčet napätí zdrojov v smere tejto slučky, teda spolu \(3U_z\). Lenže všetky spotrebiče sú len náš rezistor s otáznikom, teda spád napätia na ňom je \(3 U_z\) a z Ohmovho zákona vieme hneď dopočítať prúd \(\frac{3U_z}{R}\).