6. Čo by kameňom dohodil vzorové riešenie

Na prvý¹ pohľad sa zdá, že budeme musieť riešiť trojrozmernú úlohu. Do istej miery je to pravda – lebo keď kameň niekam vystrelíme, kým dopadne, Mesiac sa stihne mierne pootočiť. Mesiac sa však okolo svojej osi otáča doooosť pomaly, a tak zanedbajme toto pootočenie.

Môžeme sa vďaka tomu tváriť, že celá situácia bude prebiehať iba v rovine, v ktorej ležia Maťko, Kubko a stred Mesiaca². Zároveň bude celá situácia symetrická podľa osi úsečky spájajúcej Maťka a Kubka.

Potrebujeme vedieť niečo o trajektóriách, po ktorých sa môže kameň dostať ku Kubkovi. Patrilo by sa teda vedieť, ako tieto trajektórie môžu vyzerať. Na to môžeme zavolať 1. Keplerov zákon. Možné trajektórie sú teda kužeľosečky – kružnica, elipsa, parabola alebo hyperbola. Zo symetrickosti situácie ale máme k dispozícii len tie kužeľosečky, ktoré sú symetrické podľa osi úsečky spájajúcej Maťka a Kubka. To nás do istej miery obmedzuje.

Poďme sa zamyslieť, či by sme vedeli prehodiť Kubkovi kameň po hyperbole. Problém, ktorý totiž môže nastať, je, že pri výstrele strelíme rovno do Mesiaca. Ukážeme, že presne toto sa stane.

Najprv si pripomeňme, ako je definovaná hyperbola s ohniskami \(F_1\) a \(F_2\). Je to množina tých bodov \(X\) v rovine takých, že \(||XF_1| - |XF_2||\) sa rovná nejakej konštante. Inými slovami – ak sa priblížime k jednému z ohnísk, o rovnakú vzdialenosť sa musíme priblížiť aj k druhému ohnisku.

Prvý Keplerov zákon hovorí o hyperbole, ktorú používame ešte o kúsok viac – jej ohnisko musí ležať v strede Mesiaca. Druhé ohnisko leží niekde „nad“ touto hyperbolou. Z toho vyplýva, že keď sa posunieme po hyperbole od Maťka ku Kubkovi, naša vzdialenosť k druhému ohnisku sa zmenší. Tým pádom sa musí zmenšiť aj naša vzdialenosť od prvého ohniska, teda od stredu Mesiaca. V tom momente sme ale už pod povrchom Mesiaca³. Po hyperbole sa teda kameň pohybovať nebude.

Z podobných dôvodov sa kameň nebude pohybovať po parabole. Parabola je totiž definovaná tak, že keď si vyberieme priamku (direkčná priamka) a bod (ohnisko) mimo nej, na parabole budú ležať body, ktoré sú rovnako vzdialené od ohniska ako od direkčnej priamky. Opäť teda vidíme vlastnosť ako pre hyperbolu – keď sa priblížime k direkčnej priamke, musíme sa priblížiť k ohnisku.

Parabola, po ktorej sa musí pohybovať kameň musí mať svoje ohnisko v strede Mesiaca a direkčnú priamku opäť niekde „nad“. Takže po výstrele po parabole sa opäť kameň zavŕta do Mesiaca.

Zostáva tak jediná možnosť – kameň sa bude pohybovať po elipse⁴. Tá bude mať jedno ohnisko v strede Mesiaca a zo symetrickosti bude jej hlavná os totožná s osou úsečky spájajúcej Maťka a Kubka. Poďme zistiť, kde môže ležať druhé ohnisko. Všimnime si totiž, že poloha oboch ohnísk a poloha Maťka (resp. Kubka) nám potom jednoznačne určujú elipsu⁵.

V mierne degenerovanom prípade, keď sú obe ohniská v rovnakom bode, dostávame kružnicu. Presne tú kružnicu, ktorá je určená povrchom Mesiaca. To je skutočne jedna z možných trajektórií, ako môže Maťko poslať kameň Kubkovi.

Vo všetkých ostatných prípadoch to skutočne bude časť nejakej elipsy. Hoci teda, v niektorých prípadoch budeme trajektória tá menej triviálna, lebo v skutočnosti hodíme aj ponad južný pól.

V 21. storočí si všetky možné prípady už vieme jednoducho vyskúšať, a to na tejto adrese: https://www.geogebra.org/calculator/zazykfzq

Môžeme ísť počítať uhly. Začnime tým očividnejším prípadom, keď Maťko vystrelí kameň na tú stranu priamky Maťko-Kubko, na ktorej neleží stred Mesiaca. Najmenší uhol dosiahneme, keď bude druhé ohnisko totožné so stredom mesiaca, t. j. trajektória bude mať tvar kružnice. Vtedy dosiahneme uhol \(\ang{0}\).

Ako budeme hýbať ohniskom, bude sa uhol, pod ktorým Maťko strieľa, zvyšovať. Teoreticky najväčší uhol dosiahneme pre ohnisko akoby nekonečne ďaleko⁶.

Pozrime sa na trojuholník určený oboma ohniskami a Maťkom. Keď je druhé ohnisko v nekonečne, uhol pri ňom má veľkosť \(\ang{0}\). Uhol pri strede Mesiaca má veľkosť \(\varphi / 2\), a teda uhol pri Maťkovi má veľkosť \(\ang{180} - \varphi / 2\). Teraz využijeme silne netriviálnu vlastnosť elipsy – že dotyčnica k elipse je osou vonkajšieho uhla v trojuholníku určenom ohniskami a bodom, v ktorom hľadáme dotyčnicu⁷. A práve dotyčnica k tejto elipse je smer vektora rýchlosti, pod ktorým má Maťko vystreliť kameň. Vonkajší uhol pri Maťkovi má veľkosť \(\varphi / 2\), takže jeho os ho rozdelí na dva s veľkosťou \(\varphi / 4\). Keď dopočítame uhly, zistíme, že Maťko musí vystreliť pod uhlom \(\ang{180} - \varphi / 2 + \varphi / 4 - \ang{90} = \ang{90} - \varphi / 4\).

Ak by sme hľadali tento uhol v tom menej očividnom prípade, dostali by sme uhol pri Maťkovi veľkosti \(\varphi / 2\). Podobným spôsobom ako v predošlom odseku by sme ale dostali, že v hraničnom prípade musí Maťko hádzať pod uhlom \(\varphi / 4\).

Maťko teda môže hádzať pod uhlami s veľkosťami v intervale \((\ang{0}, \ang{90} - \varphi / 4)\).

Úloha od nás chce ešte vypočítať, akou rýchlosťou musí Maťko vystreliť kameň v jednotlivých prípadoch. Veľmi dobre vieme, ako bude vyzerať výsledná elipsa a jej hlavná polos. Hľadanú rýchlosť vďaka tomu vieme poľahky dostať z rovnice vis-viva: \[v^2 = GM \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)\] V oboch prípadoch máme, že \(r = R\), lebo Maťko stojí na povrchu Mesiaca. Pre uhol s veľkosťou \(\ang{0}\) máme dĺžku hlavnej polosi \(a = R\). V prípade pre uhol s veľkosťou \(\ang{90} - \varphi / 4\) je druhé ohnisko v nekonečne, takže aj \(a = \infty\). V jednotlivých prípadoch dostávame rýchlosti⁸: \[ \begin{aligned} v_{\ang{0}} &= \sqrt{\frac{GM}{R}}\\ v_{\ang{90} - \varphi / 4} &= \sqrt{\frac{2GM}{R}} \end{aligned} \]

Najmenší uhol, pod ktorým môže Maťko strieľať, je teda \(\ang{0}\), kedy musí strieľať rýchlosťou \(v_{\ang{0}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}\). Najväčší uhol, pod ktorým môže strieľať, je zas \(\ang{90} - \varphi / 4\), kedy musí strieľať rýchlosťou \(v_{\ang{90} - \varphi / 4} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\).