4. Chutný vzduch vzorové riešenie

Ako prvé sa musíme pozrieť na to, čo by malo spĺňať správne riešenie. V prvom rade by malo mať správne jednotky. Akonáhle má jedna strana iné jednotky ako druhá, výsledok nemôže byť správny. Takisto ak sčítavame respektíve odčítavame, musia mať tieto veličiny rovnaké jednotky. Naopak vo vnútri funkcií (ako napríklad logaritmus a exponenciácia) musia byť bezrozmerné čísla.

Ďalej by malo platiť, že výsledok závisí práve od všetkých relevantných veličín. Napríklad v tomto prípade by výška, v ktorej balík praskne, nemala závisieť napríklad od merného odporu železa.

Ako tretie sa môžeme pozrieť na to, ako výsledok závisí od jednotlivých veličín. Napríklad by malo platiť, že ak balík znesie väčší pretlak, potom praskne vo väčšej výške a naopak.

1. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right)\right)\)

Pri prvej rovnici nikde nevystupuje \(\mathop{}\Delta p\). Od tej by to ale malo závisieť, lebo prakticky určuje pevnosť sáčku. Preto môžeme s istotou povedať, že toto riešenie je nesprávne.

2. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right) + \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

Teraz nám už výsledok závisí od \(\mathop{}\Delta p\), no nesprávne. Ak \(\mathop{}\Delta p\) rastie, tak aj \(H\) by malo rásť. Ale v druhej rovnici bude s rastúcim \(\mathop{}\Delta p\) rásť aj logaritmus a teda výška \(H\) bude klesať. Pre dostatočne veľké \(\mathop{}\Delta p\) bude výška dokonca záporná, lebo logaritmus bude kladný a člen \(-\frac{p_0}{c}\) bude záporný.

3. \(H = -\frac{c}{p_0}\ln\left(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(-\frac{p_0}{c}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

V tomto prípade nám nesedia jednotky. Výsledok logaritmu musí byť bezrozmerné číslo, takže jednotky nám určuje len \(-\frac{c}{p_0}\). Tlak je v \(\si{\pascal}\) a konštanta \(c\) má jednotky \(\si{\pascal\per\metre}\), lebo určuje o koľko poklesne tlak, ak vystúpame nejakú výšku. To znamená, že pravá strana rovnice má rozmer \(\si{\per\metre}\) a ľavá \(\si{\metre}\). Preto ani toto nemôže byť správny výsledok.

4. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_2 - V_0}{V_1 - V_0} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

Vieme, že logaritmus má vyjsť záporný, čo najmenší, aby bol výsledok čo najväčší. Preto aby \(H\) rástlo, vnútrajšok logaritmu sa musí blížiť k \(0\) sprava. Logika hovorí, že čím viac sa sáčok nafukoval, tým vyššie praskol (sáčok od čipsov je pevný a preto kým nedosiahne svoj maximálny objem, nezáleží na tom, aký pretlak znesie). Preto čím väčší je rozdiel \(V_2 - V_1\), tým väčšie by malo byť aj \(H\). To znamená, že argument logaritmu musí byť menší. To ale zlomok \(\frac{V_2 - V_0}{V_1 - V_0}\) nespĺňa.

5. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1}{V_2} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h \right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

V tomto prípade výsledok nezávisí od \(V_0\). To by ale mal. Ak by sme si predstavili, že sáčok by sa nafúkol na dvojnásobok a v jednom prípade by čipsy zaberali zanedbateľnú časť objemu sáčku a v druhom by zaberali takmer celý jeho objem, tak v prvom prípade sa plyn v sáčku nafúkol na približne dvojnásobný objem a v druhom na niekoľkonásobne väčší objem. Keďže tlak plynu je nepriamo úmerný jeho objemu (stavová rovnica), malo by to ovplyvniť výšku v ktorej praskne.

6. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_1} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

V šiestej rovnici máme výraz \(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_1}\), ktorý je tým väčší, čím sa sáčok menej nafúkol. Pre naozaj malé rozdiely \(V_1\) a \(V_2\) bude výsledok logaritmu kladný a výška záporná. To ale nedáva zmysel, lebo zároveň sa o aspoň kúsok nafúkol, takže Kvík musel niečo vystúpať. Preto ani táto rovnica nemôže byť správna.

7. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{2 V_1 - V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

V prípade, keď by balík bol už na začiatku nafúknutý, čiže \(V_1 = V_2\), by výška prasknutia nemala závisieť od jeho objemu. V takom prípade má balík už konštantný objem aj vnútorný tlak a výsledok by mal závisieť teda len od toho, aký pretlak balík znesie a ako rýchlo sa mení tlak s výškou. To ale siedma rovnica nespĺňa. Konkrétne je problém v časti \(\frac{2 V_1 - V_0}{V_2 - V_0}\).

8. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1-2 V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

Správne riešenie by malo dávať výsledok aj pre prípad, že skoro celý objem sáčku bol vyplnený čipsami. Pre taký prípad ale v tejto rovnici dostávame záporný argument logaritmu a to je problém, lebo logaritmus je definovaný iba pre kladné čísla.

9. \(H = -\frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(\frac{c}{p_0}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

V deviatej rovnici sa umocňuje \(e\) na kladné číslo. Preto s rastúcou počiatočnou výškou rastie argument logaritmu a tým klesá výška v ktorej balík praskne. Ak by sme ale mali dva prípady, kde by boli všetky objemy a odolnosť sáčku rovnaká, malo by platiť, že čím vyššie začneme, tým vyššie sáčok praskne.

10. \(H = \frac{p_0}{c}\ln\left(\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_0} \exp\left(-\frac{c}{p_0}h\right) - \frac{\mathop{}\Delta p}{p_0}\right)\)

V tomto prípade platí, že ak by sme zafixovali všetky veličiny okrem pretlaku, ktorý vrecúško vydrží, potom čím väčší pretlak by vydržal, tým menší by bol argument logaritmu. Preto keď zväčšujeme \(\mathop{}\Delta p\), \(H\) sa zmenšuje. Preto ani desiata rovnica nie je dobre.