3. Každej rovným dielom vzorové riešenie

Začnime tým, že si ujasníme, čo od nás zadanie požaduje. Máme nájsť tvar nádoby s deravým dnom, pre ktorú platí, že prietok, a teda aj výtoková rýchlosť, sú konštantné. Človeku poznajúcemu Torricelliho vzorec sa to môže javiť ako zjavný nezmysel. Veď predsa ako voda z nádoby vyteká, zmenšuje sa výška vodného stĺpca nad otvorom, no a pre výtokovú rýchlosť podľa spomínaného vzorca má platiť \(v = \sqrt{2gh}\). Tak kde je problém?

Problém je v tom, že Torricelliho vzorec predpokladá, že pri vytekaní vody z nádoby sa výška hladiny nemení, resp. sa mení len veľmi pomaly. Inými slovami, že otvor v nádobe je ďaleko menší, než je plocha hladiny. Ak táto podmienka nie je splnená, musíme naším výpočtom sledovať presné odvodenie Torricelliho vzorca a nezanedbať tie veci, ktoré sa štandardne zanedbávajú pri jeho odvodení. Poďme na to!

Uvažujme nádobu takého tvaru, aby vyhovovala zadaniu. Nech je plocha vodorovného prierezu nádoby vo výške \(h\) odo dna \(S\left(h\right)\). Predpis funkcie \(S\left(h\right)\) jednoznačne popisuje tvar nádoby, čiže toto je naša neznáma funkcia, ktorej predpis chceme nájsť.

Pre vytekajúcu vodu určite platí rovnica kontinuity \[ Q = S_{o}v_{o} = S\left(h\right)v\left(h\right), \] kde \(v_{o}\) je výtoková rýchlosť vody z nádoby a \(v\left(h\right)\) je vertikálna rýchlosť prúdenia vo výške \(h\). Okrem toho zrejme platí aj Bernoulliho rovnica^{1 2}. \[ v_{o}^{2} = v^{2}\left(h\right) + 2gh. \]

Tým máme všetko, čo potrebujeme. Vylúčením neznámej rýchlosti \(v\left(h\right)\) a pár jednoduchými úpravami nachádzame hľadaný tvar nádoby \[ S\left(h\right) = \frac{Q}{\sqrt{v_{o}^{2} - 2gh}} = \frac{Q}{\sqrt{\left(\frac{Q}{S_{o}}\right)^{2} - 2gh}}. \] Pre lepšiu predstavu bude vhodnejšie zapísať ho ako závislosť polomeru nádoby od výšky \[ R\left(h\right) = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\frac{1}{\sqrt[4]{\left(\frac{Q}{S_{o}}\right)^{2} - 2gh}}. \]

Po dosadení za \(h = 0\) dostávame, že \(S\left(0\right) = S_{o}\), takže zisťujeme, že otvor zaberá celé dno. Z grafu vidíme, že nádoba sa s výškou rozširuje. To dáva perfektne zmysel. V skutočnosti je to rovnaký tvar, aký má prúd vody tečúci z kohútika. Jediný rozdiel je v tom, že tu drží vodu pokope nádoba a tam je to povrchové napätie vody.

Teraz môžeme pristúpiť k ďalšej časti úlohy. Máme nájsť teoretickú maximálnu výšku nádoby, pre ktorú je možné splniť podmienku zo zadania. Nájdený tvar nádoby nám dáva okamžite odpoveď. Vidíme, že pre istú výšku dostávame nekonečne veľký prierez. To je zrejme ten limit. Nech \(H\) je maximálna možná výška. Podmienkou potom je nulovosť menovateľa v nájdenom predpise, odkiaľ \[ H = \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{S_{o}}\right)^{2}. \]

Tu by sa patrilo pripomenúť, že sme predpokladali, že plocha prierezu nádoby sa s výškou mení pomaly. To už ale nie je pravda, keď sa menovateľ blíži k nule, teda keď sa výška nádoby blíži k tejto hodnote. Preto treba túto hodnotu brať len ako rádový odhad.

No a čo doba vytekania? Pripomeňme si, čo sme napísali v prvej poznámke pod čiarou – rýchlosť tečenia v nejakej výške nie je ovplyvnená vodou v iných výškach. To ale znamená, že zmena rýchlosti vody je spôsobená len a len gravitáciou, teda že voda padá voľným pádom. Na začiatku je voda v pokoji, na konci opúšťa nádobu rýchlosťou \(v_{o}\).³ Doba vytekania je teda⁴ \[ \tau = \frac{v_{o}}{g} = \frac{Q}{gS}. \]

Kto neverí, môže si to overiť výpočtom. Stačí zrátať objem nádoby, predeliť ho prietokom a dostanete hľadaný čas vytekania. Na nájdenie objemu takto tvarovanej nádoby však budete potrebovať veľmi dobré tabuľky.⁵

Vyberáme z vašich riešení

S kreatívnymi riešeniami prišli Andrej Kubec a Ondrej Hacker, ktorí si uvedomili, že pokiaľ platí Toricelliho vzorec, tak ak sa im nejako podarí zabezpečiť, aby výška hladiny nad otvorom, ktorým voda opúšťa nádobu, bola vždy konštantná, tak dostanú konštantnú výtokovú rýchlosť. Na prvý pohľad sa to zdá ako nesplniteľná úloha. Veď predsa ako voda z nádoby vyteká, musí zákonite klesať aj výška vodnej hladiny nad otvorom. Ibaže by sa poloha otvoru menila spolu s výškou hladiny. Ako toto docieliť? Napríklad tak, že na hladinu umiestnime bójku, ktorá bude kontrolovať polohu otvoru. V princípe máme dve možnosti:

• K bójke pripevníme slamku, ktorej druhý koniec vyvedieme dierou v dne nádoby. V takom prípade voda opúšťa nádobu (rozumej slamku) o dĺžku slamky nižšie.⁶
• Otvor v nádobe urobíme pri jej dne a pripevníme k nemu z vonkajšej strany slamku. Slamke umožníme ohýbať sa alebo meniť svoj sklon. Na bójku umiestnime konštrukciu, ktorá bude pretŕčať ponad okraj nádoby a jej rameno bude v dostatočnej výške nad týmto okrajom. K ramenu priviažeme voľný koniec slamky. Ako bude hladina v nádobe klesať, bude klesať aj rameno konštrukcie, a tým aj voľný koniec slamky, čím sa zabezpečí konštantný výškový rozdiel medzi hladinou vody v nádobe a voľným koncom slamky.

Poznajúc výškový rozdiel medzi voľnou hladinou a otvorom, ktorým voda opúšťa nádobu, nie je problém vypočítať výtokovú rýchlosť. Stačí si uvedomiť, že v každom momente opúšťa nádobu element kvapaliny s hmotnosťou \(\Delta m\). Jeho miesto zaujmú elementy, ktoré boli nad ním. V konečnom dôsledku teda hladina poklesne, čiže je to ekvivalentné tomu, ako by sme presunuli jeden element z hladiny tesne pod otvor. To znamená, že potenciálna energia elementu sa zmenila o \(\Delta m g \Delta H\), kde \(\Delta H\) je spomínaný výškový rozdiel, no a táto energia sa zmenila na jeho kinetickú energiu pri výstupe, teda \(\frac{1}{2}\Delta m v^2\). Z rovností týchto dvoch energií potom dostávame výtokovú rýchlosť kvapaliny \(v = \sqrt{2v\Delta H}\).⁷

Na záver treba poznamenať, že výtoková rýchlosť pri použití takéhoto konceptu je konštantná, okrem prvotnej fázy, kým dôjde k jej ustáleniu, a záverečnej fázy, keď sa už voda v nádobe nenachádza a voda doteká už len zo slamky.