7. Intenzívny potenciál vzorové riešenie

Intenzita a potenciál elektrického poľa. Jedna veličina vektorová, druhá skalárna. Každá z nich sa sčítava trošku ináč, čo má na svedomí, že sa k nim budeme musieť správať rôzne.

Mözgáč má svoje náboje v trojrozmernom priestore. To by mohlo vytvárať dojem, že musíme pracovať v troch rozmeroch. Ľahko to ale zjednodušíme do dvojrozmerného prípadu. Celá situácia je totiž rotačne symetrická vzhľadom na rotáciu okolo priamky, ktorá spája oba náboje. Stačí preto vyriešiť úlohu iba v dvoch rozmeroch, aj to len v jednej polrovine. Výsledná množina potom vznikne rotáciou okolo tejto osi.

Vrhnime sa rovno do toho. V celej úlohe budeme predpokladať, že $Q_1 > Q_2$. Druhý z prípadov by sme riešili podobne.

Časť a)

Pre lepší popis situácie si zaveďme súradnicovú sústavu. Zaveďme ju tak, aby bod $[0,0]$ bol v mieste, kde sa nachádza náboj s veľkosťou $Q_1$. Os $x$ nech je totožná s priamkou, na ktorej ležia náboje, pričom nech je náboj s veľkosťou $-Q_2$ v bode $[d,0]$. Úlohu riešime len v jednej polrovine, tak nech je to tá s $y \geq 0$.

Intenzita elektrického poľa je vektor. Ak sa rozprávame o elektrickom poli kladného náboja (napr. $Q_1$), tak tento vektor smeruje od náboja. Ak od záporného náboja (napr. $-Q_2$), tak smerom k náboju. V ľubovoľnom bode $[x,y]$ v našej úlohe získame intenzitu elektrického poľa sčítaním vektorov intenzít od nábojov $Q_1$ a $-Q_2$.

Z tohto vidíme, že body na priamke spájajúcej oba náboje budú mať intenzitu rovnobežnú s priamkou spájajúcou oba náboje. To preto, lebo na tejto priamke je intenzita od každého z nábojov v smere tejto priamky, čo platí, aj keď intenzity sčítame. Takže priamka $y = 0$ obsahuje body, ktoré hľadáme. Vyhoďme z nej ale body $[0,0]$ a $[d,0]$, v ktorých sú jednotlivé náboje. V nich bude niektorá intenzita nekonečná a vektoru s nekonečnou veľkosťou (zvyčajne) smer neurčujeme. Vyhoďme aj bod $\left[\frac{Q_1 + \sqrt{Q_1 Q_2}}{Q_1 - Q_2}d,0\right]$, v ktorom je intenzita nulová, kedy tiež (zvyčajne) neurčujeme smer vektora.

Ako to bude s ostatnými bodmi? Tu už sa nevyhneme výpočtom. Najprv si ujasnime, čo znamená, že intenzita bude v smere priamky spájajúcej náboje. V danom bode $[x,y]$ zrátame intenzity od jednotlivých nábojov, vektorovo sčítame a výsledný vektor musí mať iba $x$-ovú zložku. Jeho $y$-ová zložka musí byť nulová. Chytíme sa podmienky, že zložky intenzity v $y$-ovom smere sa musia vynulovať.

Počítajme preto intenzity v bode $[x,y]$. Intenzita $\vec{E_1}$ od náboja $Q_1$ vzdialeného $r_1$ a intenzita $\vec{E_2}$ od náboja vzdialeného $r_2$ majú veľkosti ¹:

$$\begin{aligned} E_1 &= \frac{Q_1}{r_1^2}\\ E_2 &= -\frac{Q_2}{r_2^2} \end{aligned}$$ Nás hlavne zaujímajú zložky v $y$-ovom smere, a teda prenásobíme tieto intenzity sínusom vhodného uhla - uhla ktorý zviera vektor inzenzity s priamkou spájajúcou náboje. Tieto sínusy vieme vypočítať. Sú takéto²: $$\begin{aligned} \sin \varphi_1 &= \frac{y}{r_1}\\ \sin \varphi_2 &= \frac{y}{r_2} \end{aligned}$$ Zložky intenzít v smere $y$ sú preto: $$\begin{aligned} E_{1_y} &= E_1 \sin \varphi_1 = \frac{Q_1 y}{(r_1)^3}\\ E_{2_y} &= E_2 \sin \varphi_2 = -\frac{Q_2 y}{(r_2)^3} \end{aligned}$$ A tieto dve krásky majú spolu dávať $0$. V konečnom dôsledku by sme v tomto chceli spoznať nejaký geometrický útvar. Vo viere, že to pôjde, sa pustime do úprav: $$\begin{aligned} E_{1_y} + E_{2_y} &= 0\\ \frac{Q_1 y}{(r_1)^3} &= \frac{Q_2 y}{(r_2)^3}\\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{(r_1)^3}{(r_2)^3}\\ \left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^{1/3} &= \frac{r_1}{r_2} \end{aligned}$$ Ľubovoľný bod hľadanej množiny preto bude mať vlastnosť, že pomer jeho vzdialeností od jednotlivých nábojov je zrovna $\left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^{1/3}$, čo je nejaká konštanta, ktorú označme $k$. Ľudia znalí pokročilejšej geometrie v tomto hneď vedia spoznať Apolóniovu kružnicu ³. Hľadaná množina tak bude kružnica nad priemerom určeným tými dvomi bodmi priamky spájajúcej náboje, pre ktoré platí $k = \frac{r_1}{r_2}$. Ľudia Apolóniovej kružnice neznalí vedia dôjsť k tomuto výsledku masírovaním vzťahu $k = \frac{r_1}{r_2}$ až na tvar, z ktorého vidno, že ide o popísanú kružnicu ⁴.

Pre úplnosť už len dodáme, že v našom prípade, keď $k>1$⁵ (pretože $Q_1 > Q_2$), tak stred hľadanej kružnice leží v bode $\left[\frac{k^2d}{k^2-1},0\right]$ a táto kružnica má polomer $\frac{kd}{k^2-1}$.

Spolu tak hľadaná množina v rovine obsahuje priamku $y=0$ bez troch bodov, $[0,0]$, $[d,0]$ a $\left[\frac{Q_1 + \sqrt{Q_1 Q_2}}{Q_1 - Q_2}d,0\right]$, a Apolóniovu kružnicu popísanú v predošlom odseku. V priestore tak vyhovuje priamka⁶ $y=0; z=0$ bez troch bodov a guľa, ktorú dostaneme rotáciou Apolóniovej kružnice podľa priamky $y=0; z=0$.

Časť b)

V tejto časti už máme len skalárnu veličinu, takže sa to bude o čosi krajšie sčítavať. Poďme rovno na to. Potenciály $V_1$ a $V_2$ od nábojov $Q_1$ a $Q_2$ sú⁷:

$$\begin{aligned} V_1 &= \frac{Q_1}{r_1}\\ V_2 &= -\frac{Q_2}{r_2} \end{aligned}$$ Hľadáme body, kde $V_1 + V_2 = 0$, tak to zrátajme: $$\begin{aligned} V_1 + V_2 &= 0\\ \frac{Q_1}{r_1} &= \frac{Q_2}{r_2}\\ \frac{Q_1}{Q_2} &= \frac{r_1}{r_2} \end{aligned}$$ Tým sme sa dostali do rovnakej situácie ako v časti a). Tentoraz ale pre $k = \frac{Q_1}{Q_2}$.

Takže riešením v rovine bude opäť nejaká Apolóniova kružnica ⁸. Čiže v priestore to bude guľa so stredom v bode $\left[\frac{k^2d}{k^2-1},0,0\right]$ a polomerom $\frac{kd}{k^2-1}$, kde $k = \frac{Q_1}{Q_2}$.

Bonus pre záujemcov (na čo je to dobré?)

Vedomosť z časti b) sa často využíva mierne iným spôsobom. Predstavme si, že máme uzemnenú sféru a niekde mimo nej bodový náboj $Q_1$. Pýtajme sa, aká sila pôsobí na tento náboj.

Takáto úloha sa rieši tým, že si umelo vyrobíme ďalší náboj $-Q_2$. Vyrobíme a umiestnime ho tak, aby uzemnená sféra (čo je mimochodom plocha s nulovým potenciálom) bola Apolóniovou sférou pre náboje⁹ $Q_1$ a $-Q_2$. V tomto prípade je situácia s nábojom $Q_1$ a uzemnenou sférou rovnaká ako situácia s nábojmi $Q_1$ a $-Q_2$, kedy už ľahko zrátame silu pôsobiacu na náboj $Q_1$.

Metóda, ktorú sme použili, sa volá metóda zrkadlenia nábojov. Funguje aj ak ako uzemnenú sféru uvažujeme rovinu (teda sféru s nekonečným polomerom). Záujemci si o tejto metóde môžu prečítať viac napríklad vo Feynmannovi (2.diel, 6.kapitola).

---

1. Konštanta $\frac{1}{4 \pi \epsilon}$ je nepodstatná, a tak pracujme v takých jednotkách, že táto konštanta bude rovná $1$ (vo vhodných jednotkách).↩

2. Na tomto mieste by sme mohli byť opatrnejší a povedať, ktorý presne uhol myslíme. Ašak potrebujeme vedieť len sínus tohto uhla, takže je to jedno.↩

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Circles_of_Apollonius↩

4. Možností je viacero: od vhodného použitia Kosínusovej vety až po spôsoby uvedené v už spomínanom linku na Wikipédiu.↩

5. Ak $k<1$, tak $\frac{1}{k} > 1$ a vieme spraviť to isté, ale s tým, že $\frac{1}{k} = \frac{r_2}{r_1}$.↩

6. V trojrozmernom priestore vieme priamku popísať napríklad aj dvomi rovnicami.↩

7. Opäť raz pracujme s takými jednotkami, že $\frac{1}{4 \pi \epsilon} = 1$.↩

8. V tomto prípade nám narozdiel od časti a) nevyjde priamka.↩

9. Veľkosť náboja $-Q_2$ a jeho polohu vieme ľahko získať z toho, aký polomer má uzemnená sféra a ako má byť vzdialená od $Q_1$ (pozri vzorčeky, ktoré nám vyšli). Poloha sa dá geometricky nájsť aj sférickou (kružnicovou) inverziou.↩