7. Intenzívny potenciál vzorové riešenie

Intenzita a potenciál elektrického poľa. Jedna veličina vektorová, druhá skalárna. Každá z nich sa sčítava trošku ináč, čo má na svedomí, že sa k nim budeme musieť správať rôzne.

Mözgáč má svoje náboje v trojrozmernom priestore. To by mohlo vytvárať dojem, že musíme pracovať v troch rozmeroch. Ľahko to ale zjednodušíme do dvojrozmerného prípadu. Celá situácia je totiž rotačne symetrická vzhľadom na rotáciu okolo priamky, ktorá spája oba náboje. Stačí preto vyriešiť úlohu iba v dvoch rozmeroch, aj to len v jednej polrovine. Výsledná množina potom vznikne rotáciou okolo tejto osi.

Vrhnime sa rovno do toho. V celej úlohe budeme predpokladať, že \(Q_1 > Q_2\). Druhý z prípadov by sme riešili podobne.

Časť a)

Pre lepší popis situácie si zaveďme súradnicovú sústavu. Zaveďme ju tak, aby bod \([0,0]\) bol v mieste, kde sa nachádza náboj s veľkosťou \(Q_1\). Os \(x\) nech je totožná s priamkou, na ktorej ležia náboje, pričom nech je náboj s veľkosťou \(-Q_2\) v bode \([d,0]\). Úlohu riešime len v jednej polrovine, tak nech je to tá s \(y \geq 0\).

Intenzita elektrického poľa je vektor. Ak sa rozprávame o elektrickom poli kladného náboja (napr. \(Q_1\)), tak tento vektor smeruje od náboja. Ak od záporného náboja (napr. \(-Q_2\)), tak smerom k náboju. V ľubovoľnom bode \([x,y]\) v našej úlohe získame intenzitu elektrického poľa sčítaním vektorov intenzít od nábojov \(Q_1\) a \(-Q_2\).

Z tohto vidíme, že body na priamke spájajúcej oba náboje budú mať intenzitu rovnobežnú s priamkou spájajúcou oba náboje. To preto, lebo na tejto priamke je intenzita od každého z nábojov v smere tejto priamky, čo platí, aj keď intenzity sčítame. Takže priamka \(y = 0\) obsahuje body, ktoré hľadáme. Vyhoďme z nej ale body \([0,0]\) a \([d,0]\), v ktorých sú jednotlivé náboje. V nich bude niektorá intenzita nekonečná a vektoru s nekonečnou veľkosťou (zvyčajne) smer neurčujeme. Vyhoďme aj bod \(\left[\frac{Q_1 + \sqrt{Q_1 Q_2}}{Q_1 - Q_2}d,0\right]\), v ktorom je intenzita nulová, kedy tiež (zvyčajne) neurčujeme smer vektora.

Ako to bude s ostatnými bodmi? Tu už sa nevyhneme výpočtom. Najprv si ujasnime, čo znamená, že intenzita bude v smere priamky spájajúcej náboje. V danom bode \([x,y]\) zrátame intenzity od jednotlivých nábojov, vektorovo sčítame a výsledný vektor musí mať iba \(x\)-ovú zložku. Jeho \(y\)-ová zložka musí byť nulová. Chytíme sa podmienky, že zložky intenzity v \(y\)-ovom smere sa musia vynulovať.

Počítajme preto intenzity v bode \([x,y]\). Intenzita \(\vec{E_1}\) od náboja \(Q_1\) vzdialeného \(r_1\) a intenzita \(\vec{E_2}\) od náboja vzdialeného \(r_2\) majú veľkosti ¹: \[ \begin{aligned} E_1 &= \frac{Q_1}{r_1^2}\\ E_2 &= -\frac{Q_2}{r_2^2} \end{aligned} \] Nás hlavne zaujímajú zložky v \(y\)-ovom smere, a teda prenásobíme tieto intenzity sínusom vhodného uhla - uhla ktorý zviera vektor inzenzity s priamkou spájajúcou náboje. Tieto sínusy vieme vypočítať. Sú takéto²: \[ \begin{aligned} \sin \varphi_1 &= \frac{y}{r_1}\\ \sin \varphi_2 &= \frac{y}{r_2} \end{aligned} \] Zložky intenzít v smere \(y\) sú preto: \[ \begin{aligned} E_{1_y} &= E_1 \sin \varphi_1 = \frac{Q_1 y}{(r_1)^3}\\ E_{2_y} &= E_2 \sin \varphi_2 = -\frac{Q_2 y}{(r_2)^3} \end{aligned} \] A tieto dve krásky majú spolu dávať \(0\). V konečnom dôsledku by sme v tomto chceli spoznať nejaký geometrický útvar. Vo viere, že to pôjde, sa pustime do úprav: \[ \begin{aligned} E_{1_y} + E_{2_y} &= 0\\ \frac{Q_1 y}{(r_1)^3} &= \frac{Q_2 y}{(r_2)^3}\\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{(r_1)^3}{(r_2)^3}\\ \left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^{1/3} &= \frac{r_1}{r_2} \end{aligned} \] Ľubovoľný bod hľadanej množiny preto bude mať vlastnosť, že pomer jeho vzdialeností od jednotlivých nábojov je zrovna \(\left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^{1/3}\), čo je nejaká konštanta, ktorú označme \(k\). Ľudia znalí pokročilejšej geometrie v tomto hneď vedia spoznať Apolóniovu kružnicu ³. Hľadaná množina tak bude kružnica nad priemerom určeným tými dvomi bodmi priamky spájajúcej náboje, pre ktoré platí \(k = \frac{r_1}{r_2}\). Ľudia Apolóniovej kružnice neznalí vedia dôjsť k tomuto výsledku masírovaním vzťahu \(k = \frac{r_1}{r_2}\) až na tvar, z ktorého vidno, že ide o popísanú kružnicu ⁴.

Pre úplnosť už len dodáme, že v našom prípade, keď \(k>1\)⁵ (pretože \(Q_1 > Q_2\)), tak stred hľadanej kružnice leží v bode \(\left[\frac{k^2d}{k^2-1},0\right]\) a táto kružnica má polomer \(\frac{kd}{k^2-1}\).

Spolu tak hľadaná množina v rovine obsahuje priamku \(y=0\) bez troch bodov, \([0,0]\), \([d,0]\) a \(\left[\frac{Q_1 + \sqrt{Q_1 Q_2}}{Q_1 - Q_2}d,0\right]\), a Apolóniovu kružnicu popísanú v predošlom odseku. V priestore tak vyhovuje priamka⁶ \(y=0; z=0\) bez troch bodov a guľa, ktorú dostaneme rotáciou Apolóniovej kružnice podľa priamky \(y=0; z=0\).

Časť b)

V tejto časti už máme len skalárnu veličinu, takže sa to bude o čosi krajšie sčítavať. Poďme rovno na to. Potenciály \(V_1\) a \(V_2\) od nábojov \(Q_1\) a \(Q_2\) sú⁷: \[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{Q_1}{r_1}\\ V_2 &= -\frac{Q_2}{r_2} \end{aligned} \] Hľadáme body, kde \(V_1 + V_2 = 0\), tak to zrátajme: \[ \begin{aligned} V_1 + V_2 &= 0\\ \frac{Q_1}{r_1} &= \frac{Q_2}{r_2}\\ \frac{Q_1}{Q_2} &= \frac{r_1}{r_2} \end{aligned} \] Tým sme sa dostali do rovnakej situácie ako v časti a). Tentoraz ale pre \(k = \frac{Q_1}{Q_2}\).

Takže riešením v rovine bude opäť nejaká Apolóniova kružnica ⁸. Čiže v priestore to bude guľa so stredom v bode \(\left[\frac{k^2d}{k^2-1},0,0\right]\) a polomerom \(\frac{kd}{k^2-1}\), kde \(k = \frac{Q_1}{Q_2}\).

Bonus pre záujemcov (na čo je to dobré?)

Vedomosť z časti b) sa často využíva mierne iným spôsobom. Predstavme si, že máme uzemnenú sféru a niekde mimo nej bodový náboj \(Q_1\). Pýtajme sa, aká sila pôsobí na tento náboj.

Takáto úloha sa rieši tým, že si umelo vyrobíme ďalší náboj \(-Q_2\). Vyrobíme a umiestnime ho tak, aby uzemnená sféra (čo je mimochodom plocha s nulovým potenciálom) bola Apolóniovou sférou pre náboje⁹ \(Q_1\) a \(-Q_2\). V tomto prípade je situácia s nábojom \(Q_1\) a uzemnenou sférou rovnaká ako situácia s nábojmi \(Q_1\) a \(-Q_2\), kedy už ľahko zrátame silu pôsobiacu na náboj \(Q_1\).

Metóda, ktorú sme použili, sa volá metóda zrkadlenia nábojov. Funguje aj ak ako uzemnenú sféru uvažujeme rovinu (teda sféru s nekonečným polomerom). Záujemci si o tejto metóde môžu prečítať viac napríklad vo Feynmannovi (2.diel, 6.kapitola).