5. Trochu iná kontrakcia dĺžky vzorové riešenie

Kubkov obľúbený vlak má presne \(N\) vagónov a jeden rušeň, pričom každý člen vlakovej súpravy má hmotnosť \(m\). Hmotnosť celej súpravy je teda \((N + 1) m\). Brzdenie má na strosti iba rušeň trením kolies o koľajnice, preto vo vzorci pre treciu silu \(F_t\) vystupuje v úlohe kolmej prítlačnej sily tiažová sila pôsobiaca na rušeň \[ F_t = m g f. \] Na chvíľu sa zamyslime nad tým, prečo sme napísali rovnosť. Tú môžeme písať pri šmykovom trení, ale vlak predsa nebrzdí tak, že kolesá má zablokované a tie sa šmýkajú po koľajniciach. Kolesá sa pri brzdení točia a v bode dotyku s koľajnicami sa povrch kolesa a koľajnice voči sebe nepohybujú. Jedná sa teda o statické trenie medzi kolesom a koľajnicou. A pre statické trenie platí \(F_t \leq m g f\). Rovnosť nastane, ak vlak brzdí na hrane fyzikálnych zákonov tak, že aj najmenšie navýšenie brzdnej sily by znamenalo, že kolesá sa zablokujú.

Keďže podľa zadania žiadna pružina nekmitá, každý člen súpravy sa pohybuje rovnomerne spomaleným pohybom s rovnakým spomalením \[ a = \frac{F_t}{m_\mathrm{súprava}} = \frac{g f}{N + 1}. \qquad(1)\]

Očíslujme si pružiny od \(\num{1}\) po \(N\) tak, že pružina \(N\) je pri rušni, a rovnako aj vagóny – vagón \(\num{1}\) je na konci a vagón \(N\) je pri rušni. Každá pružina je stlačená, a preto vagóny od seba odtláča. Na vagón \(\num{1}\) pôsobí pružina \(\num{1}\) silou \[ F_1 = m a = \frac{m g f}{N + 1}, \qquad(2)\] kde sme za \(a\) dosadili z rovnice 1. Na vagón \(\num{2}\) tiež pôsobí pružina \(\num{1}\), ale opačným smerom, preto má záporné znamienko. Okrem toho na vagón \(\num{2}\) pôsobí aj pružina \(\num{2}\) silou \(F_2\). Súčet síl pôsobiacich na vagón \(\num{2}\) je teda \[ F_2 - F_1 = m a \qquad \rightarrow \qquad F_2 = m a + F_1 = 2 \frac{m g f}{N + 1}, \] pričom sme opäť dosadili \(a\) z rovnice 1 a aj \(F_1\) z rovnice 2. Niečo sa nám tu začína črtať, a to konkrétne, že \(i\)-tá pružina odtláča vagóny silou \[ F_i = i \frac{m g f}{N + 1}. \] Naozaj, ak by sme to spočítali aj pre vagón \(\num{3}\) a ďalšie, vyšlo by nám to presne tak.

\(i\)-ta pružina pôsobí silou \(F_i\), pretože je stlačená o \(x_i = \frac{F_i}{k}\). Stačí nám teda sčítať všetky vzdialenosti \(x_i\), o ktoré sú pružiny stlačené. To je jednoduché, pretože \(x_i\) je aritmetická postupnosť. Celková kontrakcia dĺžky vlaku teda je \[ x = \sum_{i = 1}^N x_i = \sum_{i = 1}^N i \frac{m g f}{k (N + 1)} = \frac{m g f N}{2 k}. \qquad(3)\]

Aby sme číselne vyjadrili kontrakciu dĺžky vaku, ak by sme pružiny nahradili tyčami, musíme vypočítať, aká je tuhosť tyče \(k\). Na to využijeme materiálovú konštantu – Youngov modul pružnosti \(E\). Ak sa tyč dĺžky \(L\) skráti o \(y\), tak v nej vznikne napätie \[ \sigma = \frac{y}{L} E. \] Toto napätie je vlastne tlak, ktorým musíme na tyč pôsobiť, aby sa skrátila o \(y\). Preto ak má tyč plochu prierezu \(S\) a tlačíme na ňu silou \(F\), tak \[ \sigma = \frac{F}{S} = \frac{y}{L} E \qquad \rightarrow \qquad F = \frac{E S}{L} y. \] Táto rovnica je rovnaká ako rovnica pre stlačenie pružiny \(F = k y\). Tuhosť tyče je teda \(k = \frac{E S}{L}\). Pozorný čitateľ si určite všimol, že v prvej časti úlohy sme mali model vlaku, medzi ktorého vagónmi bola len jedna pružina s tuhosťou \(k\). Na skutočných vlakoch sú však dve! Tuhosť paralelne zapojených pružín sa sčítava¹, a teda do rovnice 3 dosadíme tuhosť \(k = 2 \frac{E S}{L}\), čím dostaneme kontrakciu dĺžky \[ x = \frac{m g f N L}{4 E S}. \] Už len stačí vyhľadať v tabuľkách alebo na internete konštanty a odhadnúť zvyšné veličiny. Tyče namiesto pružín medzi vagónmi nech sú z ocele, ktorej Youngov modul pružnosti je \(E = \SI{220}{\giga\pascal}\), a nech sú dlhé \(L = \SI{1}{\metre}\) a majú plochu prierezu \(S = \SI{300}{\centi\metre\squared}\)². Koeficient statického trenia ocele na oceli je \(f = 0,15\) a nech to je taký poriadny nákladný vlak s \(N = 20\) vagónmi plnými uhlia, t.j. \(m = \SI{100}{\tonne}\). S týmito hodnotami je kontrakcia dĺžky len asi \(x \doteq \SI{0.11}{\milli\metre}\). To je dosť málo, ale stále viac ako relativistická kontrakcia dĺžky vlaku.

Poznámka o ustálenom stave pružín

Ak by v úlohe nebolo dané, že všetky vagóny spomaľujú s rovnakým spomalením, mali by sme problém. Iba ťažisko celej súpravy by spomaľovalo so spomalením \(a = \frac{F_t}{m_\mathrm{súpravy}}\). Museli by sme si napísať \(N + 1\) pohybových rovníc, jednu pre každú časť vlakovej súpravy. Konkrétne pre tri posledné vagóny, a potom rušeň by sme mali \[\begin{aligned} F_1 &= m a_1 \\ F_2 - F_1 = m a_2 \\ F_3 - F_2 = m a_3 \\ &\vdots \\ F_t - F_N = m a_\mathrm{rušeň}. \end{aligned}\] Hmotnosti vagónov poznáme, treciu silu medzi kolesami rušňa a koľajnicami tiež poznáme, zostáva nám teda \(N\) neznámych síl, ktorými pôsobia pružiny a \(N + 1\) neznámych zrýchlení vagónov a rušňa. Máme však viac neznámych ako rovníc, čo sa zdá ako problém, ale nie je. Stačí si uvedomiť, že sily, ktorými pôsobia pružiny vieme prepočítať na ich skrátenia či predĺženia oproti ich pokojovej dĺžke. A zo skrátenia a predĺženia pružín zase vieme vypočítať, o akú vzdialenosť sú vagóny vychýlené zo svojej pokojovej polohy, t.j. keď vlak nebrzdí. Tým je problém vyriešený, pretože ak máme rovnicu, v ktorej vystupuje výchylka a zrýchlenie niečoho, vieme zrátať, ako sa to pohybuje. Napríklad pre jednoduché závažie na pružinke máme známu rovnicu \(a = - \frac{k}{m} x\) a riešením tejto rovnice je, že poloha \(x\) sa v čase mení ako kosínus. Skutočný problém však je, že pri vlaku by sme takto dostali \(N + 1\) takýchto rovníc, pričom v rovnici pre zrýchlenie \(i\)-teho vagóna by vystupovali výchylky aj iných vagónov, ako len \(i\)-teho. A to by som veru počítať nechcel.