7. True story vzorové riešenie

Zadanie nám presne opisuje, čo sa bude diať po odstránení závažia. Piest začne vykonávať tlmené kmity až sa po nejakom čase ustáli v novej rovnovážnej polohe. Môže to znieť zložito, ale nám stačí poznať iba o koľko je nová rovnovážna poloha vyššie ako stará. Keď plynu dodávame teplo, môže sa využiť na jeho zohriatie a/alebo zväčšenie objemu, čiže konanie práce. Náš dej je izotermický a teda celkové dodané teplo, ktoré z okolia prešlo do systému plyn+nádoba+piest, sa nevyužilo na zmenu teploty plynu, ale iba na rozpínanie plynu, teda zdvihnutie piestu. Celkové dodané teplo sa preto rovná zmene potenciálnej energie piestu.¹ Budeme teda chcieť spočítať o koľko sa piest zdvihol.

V pôvodnej rovnovážnej polohe pôsobí na plyn v nádobe zhora tlak spôsobený tiažou piestu so závažím a taktiež aj atmosférický tlak \(p_a\). Tento tlak je vyrovnávaný tlakom plynu \(p_1\) zospodu. Ak označíme hmotnosť piestu \(M\), hmotnosť závažia \(m\) a plochu piestu \(S\), matematicky zapísané to je \[ \frac{(M + m) g}{S} + p_a = p_1. \] A rovnaké to je aj v novej rovnovážnej polohe, kde ale zhora pôsobí menší tlak v dôsledku odstráneného závažia, čiže aj tlak plynu \(p_2\) je menší. Máme teda druhú rovnicu \[ \frac{M g}{S} + p_a = p_2. \] Pri izotermickom deji platí prvý Dušanov vzorec \(p V = \mathrm{konst.}\), ktorý hovorí, že v každom momente deja je súčin tlaku a objemu plynu rovnaký. My si vyberieme začiatok, kedy bol plyn v stave \(p_1\), \(V_1\) a konečný stav s \(p_2\), \(V_2\). S využitím prvých dvoch rovníc teda môžeme počítať \[ \begin{aligned} p_1 V_1 &= p_2 V_2\\ \left( \frac{(M + m) g}{S} + p_a \right) V_1 &= \left( \frac{M g}{S} + p_a \right) V_2\\ V_2 &= \frac{\frac{(M + m) g}{S} + p_a}{\frac{M g}{S} + p_a} V_1. \end{aligned} \] A keďže piest sa zdvihol o \(\Delta h = \frac{V_2 - V_1}{S}\), celkové dodané teplo už je jednoducho \[ Q = M g \frac{V_2 - V_1}{S} = \frac{M g}{S} V_1 \left( \frac{\frac{(M + m) g}{S} + p_a}{\frac{M g}{S} + p_a} - 1 \right) = \frac{M m g^2 V_1}{\left( \frac{M g}{S} + p_a \right) S^2} \doteq \SI{8.89}{\joule}. \]

Prácu izotermického deja nemôžeme počítať ako \(W = p \Delta V\), pretože tento vzťah platí len pre dej s konštantným tlakom. Musíme teda integrovať alebo si proste nájdeme na internete druhý Dušanov vzorec pre prácu izotermického deja \(W = N k T \ln \frac{V_2}{V_1}\), kde \(N k T\) je nám dobre známa trojica písmen zo stavovej rovnice ideálneho plynu. V prípade izotermického deja je súčin \(N k T\) stále konštantný. Pomocou stavovej rovnice teda prepíšeme prácu vykonanú plynom medzi objemami \(V_1\) a \(V_2\) do veličín, ktoré máme zadané či už spočítané \[ W = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{(M + m) g}{S} + p_a \right) V_1 \ln{\frac{\frac{(M + m) g}{S} + p_a}{\frac{M g}{S} + p_a}} \doteq \SI{9.81}{\joule}. \]

Naozaj, vykonaná práca v prvej fáze pohybu sa nerovná celkovému dodanému teplu. Dokonca sa zdá, že plyn vykonal viac práce, ako mu okolie dodalo tepla. Ale to je v poriadku, zákon zachovania energie stále platí. Môžeme si to predstaviť tak, že okolie dodalo plynu \(\SI{9.81}{\joule}\), pretože inak by plyn nemohol vykonať takú prácu. Výsledkom práce bolo zdvihnutie piestu, na čo bolo potrebných \(\SI{8.89}{\joule}\). Ďalej, mal piest v momente prvého dosiahnutia objemu \(V_2\) aj nejakú kinetickú energiu \(E_k\). Okrem toho ešte plyn pracoval proti trecej sile, čím sa vlastne počas pohybu premieňala jeho kinetická energia na teplo \(Q_T\), ktoré plyn vrátil späť okoliu. Čiže keď plyn prvýkrát dosiahol objem \(V_2\), piest mal mechanickú energiu \(E_k + E_p\). Preto celkové dodané teplo v prvej fáze pohybu je \(\SI{9.81}{\joule} - Q_T = W - Q_T\), zatiaľ čo dodané teplo v prvej fáze deja je \(\SI{9.81}{\joule}\), ako sme si už vyššie vyjasnili. Pod dodaným teplom sa teda myslí teplo, ktoré okolie dodalo plynu a pod celkovým dodaným teplom sa myslí celková energetická bilancia, teda teplo, ktoré okolie dodalo plynu, mínus teplo, ktoré plyn vrátil späť okoliu. A rovnako to bude v ktoromkoľvek inom čase \(t\), teda \[ E_k (t) + E_p (t) = W (t) - Q_T (t). \] Po dlhom čase, keď sa piest ustáli, už nemá kinetickú energiu a táto rovnica sa zmení na \[ E'_p = W' - Q'_T \Rightarrow W' = E'_p + Q'_T, \] kde sme veličinám dali čiarky, aby bolo jasné, že sa týkajú už skončeného deja. \(W'\) však nezávisí od toho, či plyn prešiel z \(V_1\) do \(V_2\) a tam zastal, alebo sa tam dostal nejakým tlmeným kmitaním, pretože plyn koná kladnú prácu, keď sa rozpína, a zápornú, keď sa stláča. V súčte teda prechod z \(V_1\) do \(V_2\) vykoná vždy prácu \(W' = W = \SI{9.81}{\joule}\). Nezabúdajúc, že pri izotermickom deji sa vykonaná práca \(W\) rovná dodanému teplu, rovnica \(W = E_p + Q'_T\) nám hovorí, že celý dej prebehol tak, že okolie plynu dodalo \(\SI{9.81}{\joule}\), z čoho sa \(\SI{8.89}{\joule}\) použilo na zdvihnutie piestu a zvyšných \(\SI{0.92}{\joule}\) plyn okoliu vrátil naspäť, keď sa kinetická energia piestu trením premieňala na tepelnú energiu.