Zadanie

Andrej si tak sedel na prednáške z mechaniky a zamýšľal sa, čo by sa asi tak stalo, keby sa Zem zrazu stala nehmotnou a on by k nej zostal pripútaný už len pružným bungee lanom. Asi by zostal kmitať vo vesmíre niekde v jej okolí… ale zaujímalo by ho, koľkokrát za jeden obeh okolo Slnka to stihne.

Majme nehmotný bod pohybujúci sa po kružnicovej obežnej dráhe okolo Slnka (s hmotnosťou \(M\)) kruhovou rýchlosťou pre danú vzdialenosť \(R\) od Slnka. Naň zavesíme závažie o hmotnosti \(m\) na pružine s tuhosťou \(k\) a nulovou pokojovou dĺžkou, tak, že sa môže pohybovať iba v radiálnom smere. Zrátajte periódu malých kmitov závažia pre obe rovnovážne polohy a porovnajte s obežnou periódou.

Najprv si musíme uvedomiť, aké sily pôsobia na závažie. Pôsobí na neho Slnko gravitačnou silou, pružina svojou vlastnou silou a odstredivá sila, pretože obieha okolo Slnka. Závažie je k nehmotnému body pripútané tak, že sa môže hýbať len v radiálnom smere, čiže jeho uhlová rýchlosť je rovnaká, ako uhlová rýchlosť telesa obiehajúceho Slnko po kružnici s polomerom \(R\). Tú vypočítame z rovnosti gravitačnej a odstredivej sily:

\[ \frac{GMm}{R^2} = m \omega_0^2 R \qquad\Rightarrow\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}. \]

Označme \(x\) výchylku pružiny z jej rovnovážnej polohy, pričom za kladnú považujeme výchylku smerom k Slnku. Hmotný bod môže kmitať iba okolo rovnovážnej polohy, kde je súčet síl naň pôsobiacich nulový, teda

\[ \begin{aligned} \frac{GMm}{(R - x)^2} - \frac{GMm}{R^3} (R - x) - kx &= 0 \\ GMmR^3 - 3GMm(R - x)^3 - kxR^3 (R - x)^2 &= 0. \end{aligned} \]

Keď zátvorky umocníme a pre prehľadnosť zavedieme substitúcie \(\omega_0^2 = \frac{GM}{R^3}\) a \(\omega_p^2 = \frac{k}{m}\), tak dostaneme kubickú rovnicu

\[ (\omega_0^2 - \omega_p^2) x^3 + R (2 \omega_p^2 - 3 \omega_0^2) x^2 + R^2 (3 \omega_0^2 - \omega_p^2) x = 0. \]

Máme šťastie, pretože jedno jej riešenie hneď vidíme. Je to \(x_1 = 0\). Teraz môžeme \(x\) z rovnice vykrátiť, čím už dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorá má dve riešenia

\[ x_{2,3} = \frac{2 \omega_p^2 - 3 \omega_0^2 \pm \sqrt{4 \omega_0^2 \omega_p^2 - 3 \omega_0^4}} {2(\omega_p^2 - \omega_0^2)} R. \]

Použijeme ešte jednu substitúciu \(\alpha = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2}\), čím sa riešenia zjednodušia na

\[ x_{2,3} = \frac{2 \alpha - 3 \pm \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R. \]

Zadanie po nás chce malé kmity, teda musí byť \(R - x > 0\), kde \(R - x\) je vzdialenosť hmotného bodu od Slnka. Pravdaže je možné aj \(R - x < 0\), ale to by znamenalo, že hmotný bod by bol vychýlený až tak veľmi, že by prekmitol cez Slnko, čo určite nie sú malé kmity. Pre \(x_1\) je podmienka zjavne splnená, pre ďalšie dve riešenia je

\[ R - x_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R > 0. \]

Aby bol tento výraz vôbec definovaný, musí byť \(\alpha \geq \frac{3}{4}\) a \(\alpha \neq 1\). Pre \(\frac{3}{4} \leq \alpha < 1\) je menovateľ záporný a čitateľ kladný v oboch prípadoch \(\pm\) pred odmocninou, teda celý zlomok je záporný, a to nechceme. Ale pre \(\alpha > 1\) je nerovnosť splnená pri riešení s \(+\) pred odmocninou. Tým sme zistili, že z troch možných riešení rovnice dávajú v tejto úlohe fyzikálny zmysel iba rovnovážne polohy, v ktorých je výchylka pružiny \(x_1 = 0\) a \(x_2 = \frac{2 \alpha - 3 + \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R\), t.j. sú od Slnka vzdialené \(R_1 = R - x_1 = R\) a \(R_2 = R - x_2 = \frac{1 + \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R\).

Keď poznáme rovnovážne polohy, periódu malých kmitov už hravo zvládneme. Ak hmotný bod vychýlime o malú výchylku \(y\) z rovnovážnej polohy \(R_1\), bude naň pôsobiť sila

\[ ma = \frac{GMm}{(R_1 - y)^2} - \frac{GMm}{R_1^3} (R_1 - y) - ky. \]

Toto by sme nejako chceli upraviť do tvaru \(a = - \omega^2 y\), čo je rovnica harmonického oscilátora s frekvenciou \(\omega\). Preto využijeme Taylorov rozvoj v okolí \(y = 0\), čiže \(\frac{1}{(R_1 - y)^2} \approx \frac{1}{R_1^2} + \frac{2y}{R_1^3}\). Obmedzili sme sa na prvý rád \(y\), keďže nás zaujímajú malé kmity. Tým sa nám rovnica zjednodušila na

\[ ma = GMm \left(\frac{1}{R_1^2} + \frac{2y}{R_1^3}\right) - \frac{GMm}{R_1^3} (R_1 - y) - ky, \]

čo upravíme na

\[ a = - (\omega_p^2 - 3 \omega_0^2) y. \]

Frekvencia malých kmitov okolo rovnovážnej polohy \(R_1\) je teda \(\sqrt{\omega_p^2 - 3 \omega_0^2}\), čo znamená, že ich perióda je

\[ T_1 = \frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_p^2 - 3 \omega_0^2}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m} - 3 \frac{GM}{R^3}}}. \]

Pre výchylku \(y\) od \(R_2\) dostávame veľmi podobnú rovnicu

\[ ma = \frac{GMm}{(R_2 - y)^2} - \frac{GMm}{R^3} (R_2 - y) - k(x_2 + y), \]

kde opäť využijeme \(\frac{1}{(R_2 - y)^2} \approx \frac{1}{R_2^2} + \frac{2y}{R_2^3}\) a po roznásobení aj \(\frac{GMm}{R_2} - \frac{GMm}{R^3} R_2 - kx_2 = 0\), keďže ide o rovnovážnu polohu. Tým dostaneme rovnicu

\[ a = - \left(\frac{k}{m} - GM \left(\frac{2}{R_2^3} + \frac{1}{R^3}\right)\right) y. \]

Perióda kmitov okolo rovnovážnej polohy \(R_2\) je teda

\[ T_2 = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m} - GM \left(\frac{2}{R_2^3} + \frac{1}{R^3}\right)}}, \]

čo po dosadení všetkých substitúcií je

\[ T_2 = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{GM}{R^3} \left(1 + 16 \left(\frac{\frac{kR^3}{GMm} - 1}{1 + \sqrt{\frac{4kR^3}{GMm} - 3}}\right)^3\right)}}. \]

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.