Zadanie

Náš Kubko veľmi rád lieta po cestách druhej a nižšej triedy. Raz, keď si tak frčal po ceste, jeho spolucestujúcemu Kubkovi napadla otázka: „Ako veľmi odporná je Fabia?“ Vodič Kubko mu na to ako správny fyzik hneď odpovedal: „Veď to by som ti vedel zmerať. A stačili by mi na to iba veci na palubnej doske.“

Ako sa dá len pomocou prístrojov na palubnej doske auta zistiť, aké sú odporové sily pôsobiace na auto (aerodynamický odpor, trenie súčiastok auta, valivý odpor kolies)? Úlohu vyriešte pre prípad, že jediná odporová sila je valivý odpor kolies. Následne sa zamyslite, čo by sa v postupe zmenilo v prípade, že by sme uvažovali aj zvyšné odporové sily – túto časť sa vám pravdepodobne nepodarí dopočítať1, takže nám stačí popis, čo by sa zmenilo.

Kubko sa o svoju Fabiu síce stará veľmi dobre, no Fabia je už stará dáma. Na palubnej doske tak má všetky klasické prístroje, rozhodne tam ale nemá stopky.


  1. Ak áno, tak klobúk dole.↩︎

Zdravím všetkých budúcich aj súčasných motoristov a motoristky. Predstavme si, že s Felíciou zrýchlime na cestovnú rýchlosť v meste a pôjdeme len priamočiaro po rovine. Vyradíme ešte rýchlosť, čím prerušíme spojenie medzi motorom a kolesami. (Motor by nám to zbytočne komplikoval, keďže nás môže pri zaradenej rýchlosti spomaľovať a aj zrýchľovať bez toho, aby sme čo i len použili plynový pedál.) Všetko super sa raz musí skončiť a aj naša Felícia raz zastane.

Aké sily nás zastavili?

  • Aerodynamický odpor, ktorý je úmerný kvadrátu rýchlosti. Izolovane by sa dal zmerať vo veternom tuneli.
  • Trenie súčiastok auta – kolesá musia byť stále pripojené k autu ložiskami, ktoré nie sú dokonalé. Izolovane by sa dalo zmerať zdvihnutím celého auta v autoservise.
  • Valivý odpor kolies – závisí hlavne od tlaku v pneumatikách (čím je tlak nižší, tým sa bude koleso viac deformovať a zvyšovať valivý odpor) a od vlastností povrchu (nerovný a neúplne tuhý povrch bude valivý odpor zvyšovať).

Celkovo si teda horizontálnu silu pôsobiacu na auto môžeme približne vyjadriť ako \[ F = C_1 + C_2 v^2, \] kde \(C_1\) a \(C_2\) sú konštanty. \(C_1\) teda v sebe skrýva valivý odpor kolies a aj trenie súčiastok v aute. Ložiská sú v praxi veľmi efektívne (minimalizovanie trenia je jeden z hlavných dizajnových parametrov pri konštrukcii), preto môžeme povedať, že táto odporová sila \(C_1\) je spôsobená hlavne valivým odporom. Uvažujme najskôr, že \(C_1\) je zanedbateľné. Na Wikipédii sa nachádzajú konštanty aerodynamického odporu pre rôzne autá (stačí vybrať podobne hranatý a veľký model ako Felícia). Vieme teda vypočítať \[ C_2 = \frac{1}{2} \rho C_{d}A \approx \SI{0.5}{\newton\per\metre\squared\second\squared}. \]

Takže napríklad pri cestovnej rýchlosti \(\SI{60}{\kilo\metre\per\hour} \approx \SI{17}{\metre\per\second}\) by malo byť spomalenie \(a = \frac{C_2v^2}{m} \approx \frac{144}{1000} \approx \SI{0.14}{\metre\per\second\squared}\). Odporová sila sa bude znižovať, ako budeme spomaľovať a celková prejdená dráha sa dá vypočítať napríklad numericky pomocou jednoduchej simulácie v Exceli (čas rozdelíme na krátke úseky, počas ktorých budeme uvažovať, že odporová sila, zrýchlenie a rýchlosť sú konštantné). Výsledok je, že Felícia sa nezastaví ani po piatich kilometroch, čo je veľmi odlišné od reality, kde sa auto samo zastaví po niekoľko sto metroch. Zanedbajme teda vplyv aerodynamického odporu a hor sa na meranie \(C_1\). Palubná doska priemernej Felície obsahuje rýchlomer, otáčkomer, počítadlo prejdenej vzdialenosti s presnosťou na 100 metrov a počítadlo spotreby.

Teda na rovine zrýchlime na \(v_0 = \SI{60}{\kilo\metre\per\hour}\), vyradíme rýchlosť, zapamätáme si číslo z tachometra na začiatku \(s_0\) a pri zastavení \(s_1\). Odporovú silu si vypočítame zo zákona zachovania mechanickej energie \(C_1\left(s_1 - s_0\right) = \frac{1}{2} mv_0^2\) a po úprave \(C_1 = \frac{1}{2} \frac{mv_0^2}{s_1 - s_0}\).

Keďže naše meradlo má najmenší dielik porovnateľný s meranou dráhou, bolo by dobré experiment opakovať a výslednú odporovú silu uviesť ako priemer meraní aj so štandardnou odchýlkou.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.