7. Takýto pohyb zrátajte! vzorové riešenie

To prvé, čo ako šikovní fyzici musíme urobiť, je nakresliť si všetky sily, čo v našom systéme pôsobia. Očividne tu bude ťah raketky \(F\), ako aj gravitačná sila \(F_g\) na ňu pôsobiaca, na jednej strane tyče. Na druhej strane tyče potom bude sila normálová \(F_n\), ktorá zabezpečuje, že tyč sa z koľaje neutrhne, a sila trecia \(F_t\). Spolu to vyzerá takto:

Najprv sa pozrieme na veľkosti týchto síl. Očividne \(F_g = mg\) a \(F\) je zadané. \(F\) vieme rozdeliť na dve zložky: vertikálnu, ktorá raketku odľahčuje, a horizontálnu, ktorá ju urýchľuje pozdĺž koľajnice. \(F_n\) potom bude rovná rozdielu \(F_g\) a vertikálnej zložky \(F\), teda \(F_n = mg - F\sin{\varphi}\), kde \(\varphi\) je odklon tyče od smeru tiažového zrýchlenia. A napokon, trecia sila je očividne \(F_t = fF_n\).

Teraz sa môžeme spýtať, ktoré z týchto síl ovplyvňujú uhlové vychýlenie tyče. Tu môžeme urobiť arbitrárne rozhodnutie, kam umiestnime os otáčania a potom sa jednoducho pozrieme na zodpovedajúce momenty síl. Môže sa zdať rozumné umiestniť os otáčania do miesta dotyku tyče a koľaje, no v skutočnosti bude celý systém omnoho krajší, keď os otáčania umiestnime do ťažiska systému tyč-raketka – čo je, keďže tyč je nehmotná, priamo v raketke. Potom vidíme, že jediné sily, ktoré na systém tyč-raketka pôsobia nenulovým momentom sily sú \(F_n\) a \(F_t\) (tu by sme ešte po správnosti mali zarátať fiktívnu silu, ktorá je výsledkom toho, že naša zvolená os otáčania je neinerciálna a zrýchľuje zrýchlením \(a\), ale keďže tento koniec tyče má nulovú hmotnosť, aj táto fiktívna sila má nulovú magnitúdu - o tom viac v poznámkach na konci). Spomenieme si na vzorec pre veľkosť momentu sily \[ \left|\vec{M}\right| = \left|\vec{F}\right|\left|\vec{r}\right|\sin{\alpha_{F - r}}. \]

Z nákresu ľahko nahliadneme, že celkový moment sily pôsobiaci na raketku je \[ M = F_nL\left(f\cos{\varphi} - \sin{\varphi}\right). \]

Prv, než sa pustíme do skúmania kmitavého pohybu raketky, nájdeme uhol \(\alpha\), na ktorom sa systém ustáli pred tým, ako doňho drgneme. V ustálenom stave je uhlové zrýchlenie nulové, a teda pre uhol \(\alpha\) platí rovnica \[ f\cos{\alpha}-\sin{\alpha} = 0, \] čo upravíme na \[ \alpha = \arctan{f}. \]

Na to, aby sme našli pohyb systému, musíme teraz zmeniť bod otáčania na taký, v ktorom máme nenulový moment zotrvačnosti. Až teraz ho teda umiestnime do bodu dotyku tyče a koľajnice. Nesmieme zabudnúť, že tento bod zrýchľuje zrýchlením \(\frac{1}{m}\left(F\cos{\varphi}-fF_n\right)\). Keď teda prejdeme do neinerciálnej vzťažnej sústavy vzťahujúcej sa na tento bod, na raketku bude pôsobiť d’Alembertova sila veľkosti \(F\cos{\varphi}-fF_n\) opačným smerom ako je smer pohybu, ktorej moment je teda \(M_A=-L\left(F(\cos^2{\varphi}+f\sin{\varphi}\cos{\varphi})-fmg\cos{\alpha}\right)\). Okrem nej pre túto os otáčania na raketku pôsobia ešte momenty gravitačnej a ťahovej sily: \(M_g=-Lmg\sin{\varphi},M_F=LF\). Ostatné momenty síl (normálovej a trecej) majú nulové rameno sily.

Vzhľadom na to, že systém tyč-raketka je v podstate len hmotný bod, ktorý je od našej zvolenej osi otáčania vzdialený \(L\), jeho moment zotrvačnosti je triviálne \(I = mL^2\). Napíšeme si moment sily ako súčin momentu zotrvačnosti a uhlového zrýchlenia, dosadíme naše tri nenulové momenty síl a získavame tak našu hlavnú pohybovú rovnicu \[ mL^2 \Derivative[2]{\varphi}{t} = L\left(mg - F\sin{\varphi}\right)\left(f\cos{\varphi} - \sin{\varphi}\right). \]

Toto sa môže na prvý pohľad zdať beznádejné, no ctený čitateľ nech nezúfa – veľa týchto vecí sa vieme zbaviť vďaka aproximáciám. V prvom rade skúsme trochu vyčistiť pravú stranu rovnice: \[ \frac{m}{mg - F\sin{\varphi}}L \Derivative[2]{\varphi}{t} = f\cos{\varphi} - \sin{\varphi} \]

Keďže sa budeme pýtať na malé kmity okolo tohto uhla, bolo by fajn spraviť si novú premennú \(\beta\), ktorá popisuje uhlovú výchylku tyče od tohto rovnovážneho stavu. Inými slovami \[ \beta = \varphi - \arctan{f} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \beta + \arctan{f} \qquad\Rightarrow\qquad \Derivative[2]{\varphi}{t} = \Derivative[2]{\beta}{t}, \] kde \(\beta \ll 1\).

Teraz zoberieme túto substitúciu a postupne ju vrazíme do našej pohybovej rovnice. Začneme zlomkom na ľavej strane: \[ \begin{aligned} \frac{m}{mg - F\sin{\varphi}} &= \frac{m}{mg - F\sin{\left(\beta + \arctan{f}\right)}} \\ &= \frac{m}{mg - F\left(\sin{\beta}\cos{\arctan{f}} + \cos{\beta}\sin{\arctan{f}}\right)} \\ &= \frac{1}{g}\frac{1}{1 - \frac{F}{mg}\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}}\left(\sin{\beta} + f\cos{\beta}\right)} \end{aligned} \]

Zo zadania vieme, že \(F\ll mg\), teda \(\frac{F}{mg}\ll 1\). Pravú stranu teda vieme aproximovať ako \(\frac{1}{g}\), pokiaľ ukážeme, že \(\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}}\left(\sin{\beta} + f\cos{\beta}\right)\leq 1\). Inými slovami, chceme ukázať, že \[ \sin{\beta} + f\cos{\beta}\leq \sqrt{1 + f^2}. \]

Keďže obe strany rovnice sú kladné (je bezpečné predpokladať, že \(\beta\ll f\)), táto nerovnica bude platiť, keď bude platiť jej štvorec: \[ \begin{aligned} \left(\sin{\beta} + f\cos{\beta}\right)^2 &\leq 1 + f^2, \\ \sin^2{\beta} + f^2\cos^2{\beta} + 2f\sin{\beta}\cos{\beta} &\leq 1 + f^2, \\ \beta &\leq \frac{1}{2f}, \end{aligned} \] čo platí, keďže očakávame, že \(f\) nebude rádovo viac ako \(1\), pričom v poslednej úprave sme využili, že pre malé \(\beta\) platí \(\sin \beta \approx \beta\) a \(\cos \beta \approx 1\). Našu pohybovú rovnicu teda vieme zapísať ako \[ \frac{L}{g} \Derivative[2]{\varphi}{t} = f\cos{\varphi} - \sin{\varphi}. \]

Teraz dosadíme našu substitúciu aj do zvyšku rovnice a po troche upravovania opäť použijeme aproximácie pre malé uhly: \[ \begin{aligned} \frac{L}{g}\Derivative[2]{\beta}{t} &= f\cos{\left(\beta + \arctan{f}\right)} - \sin{\left(\beta + \arctan{f}\right)} \\ &= f\left(\cos{\beta}\cos{\arctan{f}} - \sin{\beta}\sin{\arctan{f}}\right) - \sin{\beta}\cos{\arctan{f}} - \cos{\beta}\sin{\arctan{f}} \\ &= f\cos{\beta}\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}} - f\sin{\beta}\frac{f}{\sqrt{1 + f^2}} - \sin{\beta}\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}} - \cos{\beta}\frac{f}{\sqrt{1 + f^2}} \\ &= -\sin{\beta}\frac{1 + f^2}{\sqrt{1 + f^2}} \\ \frac{L}{g}\Derivative[2]{\beta}{t} &= -\sqrt{1 + f^2}\beta \end{aligned} \]

V tomto už spoznávame rovnicu harmonického oscilátora hmotnosti \(\frac{L}{g}\) a tuhosti \(\sqrt{1 + f^2}\). Uhlová rýchlosť je potom jednoducho \[ \omega = \sqrt{\frac{g\sqrt{1 + f^2}}{L}}. \]

Poznámka č. 1

V tejto úlohe sa veľmi silno používajú niektoré nie úplne známe trigonometrické identity, konkrétne \[ \sin{\arctan{x}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \QQText{a} \cos{\arctan{x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}. \]

Takéto veci si nikto nepamätá všetky a preto je fajn, že sa dajú nájsť na internete, napríklad na Wikipédii v článku https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities.

Poznámka č. 2

Ak by sme os otáčania predsa len umiestnili do bodu dotyku tyče s koľajnicou, museli by sme spraviť ešte jeden krok – konkrétne zarátať fiktívnu silu (a teda aj fiktívny moment sily) pôsobiacu na raketku. Tá vznikla, keď sme prešli do neinerciálnej vzťažnej sústavy zrýchľujúcej spolu s raketkou so zrýchlením daným rozdielom horizontálnej zložky ťahu raketky a trecej sily pôsobiacej na systém tyč-raketka. To by vyprodukovalo niekoľko škaredých rovníc, ktorým sme sa tu úspešne vyhli – konečný výsledok by bol ale pochopiteľne rovnaký.

Pozorný čitateľ sa možno pozastavil nad tým, že tým, že sme umiestnili os otáčania do jediného hmotného bodu v našom systéme, sme eliminovali všetky fiktívne sily v rátaní stabilnej výchylky \(\alpha\). Hoci os otáčania je stále neinerciálna, fiktívna sila pôsobiaca na každý komponent vo vzťažnej sústave osi otáčania je úmerná hmotnosti tohoto komponentu, a všetky tieto komponenty (v našom prípade len ten koniec tyče, ktorý sa dotýka koľajnice) majú nulovú hmotnosť.

Toto ale vyúsťuje v to, že \(\alpha\) je funkciou jedine parametra \(f\) a nezávisí od hodnôt \(F\) a \(m\). Toto sa môže zdať ako chyba – napokon, ak by sme dali \(m\) veľmi veľké (a teda aj tiaž by bola veľká), ale \(F\) veľmi malé, raketka by sotva dosiahla uhol \(\arctan{f}\) pre arbitrárne \(f\)! Tu to ale vyjde tak, že kým raketka nedosiahne tento uhol, systém sa po koľaji nerozbehne, keďže horizontálna zložka ťahu nedosiahne hodnotu \(fF_n\) (a teda aj skutočná hodnota \(F_f\) bude menšia než \(fF_n\)). Inými slovami, do istej hodnoty \(F\) sa raketka len čoraz viac nakláňa, až kým \(F_f\) nedosiahne \(fF_n\), a vtedy sa celý systém rozbehne – a toto je vždy pri uhle naklonenia \(\arctan{f}\). No a keďže v zadáni je napísané, že raketka sa hýbe, môžeme predpokladať, že \(f\) je dostatočne malé na to, aby bol tento uhol dosiahnutý, aj keď \(F \ll mg\).