7. Kometu spatřil jsem, povězte, kam letí? vzorové riešenie

Kométa má hmotnosť \(m\) a hviezda \(M\). Keby sme vedeli s istotou povedať, že \(m \ll M\), táto úloha by sa stala omnoho jednoduchšou. Toto ale nemusí platiť. Preto sa aj hviezda bude nejako hýbať.

Aby sme mali nejaký bod, ktorý sa nehýbe, a mohli určovať súradnice vzhľadom naň, presuňme sa do sústavy spojenej s ťažiskom. Keď označíme \(\vec{x_k}\) a \(\vec{x_h}\) polohové vektory kométy a hviezdy v ťažiskovej sústave, dostávame vzťah \[ m \vec{x_k} + M \vec{x_h} = 0. \qquad(1)\]

Zároveň môžeme pre túto situáciu popísať rôzne zákony zachovania. Označme \(\vec{v_k}\) a \(\vec{v_h}\) vektory okamžitých rýchlostí kométy a hviezdy. Zo zákonu zachovania hybnosti máme vzťah: \[ m \vec{v_k} + M \vec{v_h} = 0. \qquad(2)\]

Zo zákonu zachovania momentu hybnosti zase máme: \[ m \vec{x_k} \times \vec{v_k} + M \vec{x_h} \times \vec{v_h} = \vec{L}. \qquad(3)\]

Napokon zo zákonu zachovania energie máme \[ \frac{1}{2} m \left|\vec{v_k}\right|^2 + \frac{1}{2} M \left|\vec{v_h}\right|^2 - \frac{GmM}{\left|\vec{x_k} - \vec{x_h}\right|} = E. \qquad(4)\]

Konštanty \(|\vec{L}|\) a \(E\) vieme dopočítať z informácií o tom, ako vyzerá situácia v najvzdialenejšom bode orbity kométy a prvých dvoch rovníc. V tom prípade dostaneme ďalšie dve rovnice: \[ \left|\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\right| = R, \qquad(5)\] \[ \left|\vec{v_{k_0}}\right| = v. \qquad(6)\]

Použitím rovnice 2 v rovnici 3 dostávame \[ \vec{L} = m \vec{x_{k_0}}\times \vec{v_{k_0}} + M \vec{x_{h_0}} \times \vec{v_{h_0}} = m \vec{x_{k_0}} \times \vec{v_{k_0}} - m \vec{x_{h_0}} \times \vec{v_{k_0}} = m \left(\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\right) \times \vec{v_{k_0}}. \]

Vektor \(\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\) je kolmý na vektor \(\vec{v_{k_0}}\). Vďaka 5 a 6 pre veľkosť celkového momentu hybnosti platí \[ \left|\vec{L}\right| = m \left|\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\right| \left|\vec{v_{k_0}}\right| = m R v. \qquad(7)\] Podobne postupujme pre energiu. Najprv do 4 dosaďme 5: \[ E = \frac{1}{2} m \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 + \frac{1}{2} M \left|\vec{v_{h_0}}\right|^2 - \frac{GmM}{R}. \]

Ďalej do tohto vzťahu dosaďme 2: \[ E = \frac{1}{2} m \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 + \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 - \frac{GmM}{R} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) m \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 - \frac{GmM}{R}. \]

Napokon použitím 6 máme: \[ E = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) m v^2 - \frac{GmM}{R}. \qquad(8)\]

Máme teda štyri vektorové rovnice so štyrmi neznámymi vektormi \(\vec{x_k}\), \(\vec{x_h}\), \(\vec{v_k}\), \(\vec{v_h}\). Keďže vektory, ktoré používame, sú trojrozmerné¹, v skutočnosti máme \(10\) rovníc s \(12\) neznámymi². Potrebujeme ešte do nich ponahadzovať predpoklady tak, aby sme dostali toľko rovníc, koľko neznámych.

Prvý predpoklad, ktorý použijeme, je, že si uvedomíme, že celá situácia sa odohráva v rovine. Takže môžeme nastaviť tretiu zložku každého z vektorov \(\vec{x_k}\), \(\vec{x_h}\), \(\vec{v_k}\), \(\vec{v_h}\) nulovú. Týmto sme sa dostali k tomu, že máme \(7\) rovníc s \(8\) neznámymi – stále to je málo.

Do druhého predpokladu zabalíme to, kedy očakávame, že budú k sebe kométa a hviezda najbližšie. Keď bola kométa v najvzdialenejšom bode, vektory \(\vec{v_{k_0}}\) a \(\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\) boli navzájom kolmé. Nič nám teda nebráni zaviesť súradnicový systém tak, aby bol vektor \(\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\) v smere osi \(x\) a vektor \(\vec{v_{k_0}}\) v smere osi \(y\). Potom sú vektory \(\vec{v_{k_0}}\) a \(\vec{v_{h_0}}\) rovnobežné s osou \(y\) a keďže ťažisko máme v strede súradnicovej sústavy, vektory \(\vec{x_{k_0}}\) a \(\vec{x_{h_0}}\) sú rovnobežné s osou \(x\).

V prípade, keď bude kométa najbližšie, očakávame, že budú mať všetky tieto štyri vektory opačnú orientáciu, ako keď bola kométa najďalej³. Súradnice vektorov v bode, kde nastane minimum vzdialenosti, zapíšme v tvare \[ \begin{aligned} \vec{x_k} &= \left(x_k, 0, 0\right), \qquad \vec{x_h} &= \left(x_h, 0, 0\right), \\ \vec{v_k} &= \left(0, v_k, 0\right), \qquad \vec{v_h} &= \left(0, v_h, 0\right). \end{aligned} \]

Ešte predtým, ako sa pohneme ďalej, si uvedomme, že takýmto spôsobom vieme zapísať vektory v práve \(2\) bodoch – ten, kde je vzdialenosť kométy a hviezdy najmenšia, a ten, kde je najväčšia. Toto pozorovanie sa nám ešte zíde.

Keď využijeme tieto štyri zápisy vektorov, naše štyri rovnice sa nám zjednodušia na tvar \[ mx_k + Mx_h = 0, \qquad(9)\] \[ mv_k + Mv_h = 0, \qquad(10)\] \[ mx_kv_k + Mx_hv_h = L, \qquad(11)\] \[ \frac{1}{2} m v_k^2 + \frac{1}{2} M v_h^2 - \frac{GmM}{\left|x_k - x_h\right|} = E. \qquad(12)\]

Toto sú už naozaj len štyri rovnice so štyrmi neznámymi, ako sme potrebovali. Teraz ich už len vyriešiť.

Bez ujmy na všeobecnosti si povedzme, že \(x_k > 0\). Z 9 potom máme, že \(x_h < 0\). Preto \(x_k - x_h > 0\), a tak sa môžeme zbaviť absolútnej hodnoty v 12.

Povedzme, že sa pokúsime vyjadriť \(x_k\). Vyjadrime \(x_h\) z 9 a \(v_h\) z 10 a dosaďme ich do 11 a 12: \[ \begin{aligned} x_h &= -\frac{m}{M} x_k, \\ v_h &= -\frac{m}{M} v_k, \\ L &= m x_k v_k + \frac{m^2}{M} x_k v_k, \\ E &= \frac{1}{2} m v_k^2 + \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} v_k^2 - \frac{GmM}{x_k+\frac{m}{M}x_k}. \end{aligned} \]

Po uprataní \[ \begin{aligned} m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k v_k &= L, \\ \frac{1}{2} m \left(1 + \frac{m}{M}\right) v_k^2 - \frac{GmM}{x_k \left(1 + \frac{m}{M}\right)} &= E. \end{aligned} \]

Vyjadrime z prvej z rovníc \(v_k\) a dosaďme ho do druhej: \[ \begin{aligned} v_k &= \frac{L}{m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k}, \\ \frac{1}{2} m \left(1 + \frac{m}{M}\right) \left(\frac{L}{m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k}\right)^2 - \frac{GmM}{x_k \left(1 + \frac{m}{M}\right)} &= E. \end{aligned} \]

Upracme túto rovnicu, zbavme sa škaredých menovateľov a upravme na kvadratickú rovnicu: \[ \begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{L^2}{m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k^2} - \frac{GmM}{x_k \left(1 + \frac{m}{M}\right)} &= E, \\ \frac{L^2}{2} - Gm^2Mx_k &= E m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k^2, \\ E m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k^2 + G m^2 M x_k - \frac{L^2}{2} &= 0. \end{aligned} \qquad(13)\]

Skôr ako prejdeme k riešeniu tejto kvadratickej rovnice, tak si uvedomme, že my poznáme jedno jej riešenie – ním je riešenie, kedy bude kométa v najvzdialenejšom bode. Táto rovnica síce vyzerá škaredo, ale má nejaké pekné riešenie. Z toho vyplýva, že aj druhé riešenie nebude až tak škaredé, resp. že diskriminant budeme vedieť odmocniť⁴.

Nájdime najprv diskriminant 9: \[ D = G^2m^4M^2 + 2 E m \left(1 + \frac{m}{M}\right) L^2. \]

Nadišiel čas na dosadenie \(E\) a \(L\) z 8 a 7: \[ \begin{aligned} D &= G^2m^4M^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) m v^2 - \frac{GmM}{R}\right) m \left(1 + \frac{m}{M}\right) m^2 R^2 v^2 \\ &= m^4 \left[G^2M^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 - \frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) R^2 v^2 \right] \\ &= m^4 \left[G^2M^2 + \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) R^2 v^2 \right] \\ &= m^4 \left[G^2M^2 + \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right) R^2 v^4 - 2GMRv^2\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) \right] \\ &= m^4 \left[G^2M^2 - 2GMRv^2\left(1 + \frac{m}{M}\right) + R^2 v^4 \left(1 + \frac{m}{M}\right)^2 \right] \\ &= m^4 \left[GM - R v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)\right]^2. \end{aligned} \]

Diskriminant skutočne vyšiel dostatočne pekný, a teda ho môžeme jednoducho odmocniť. Pre riešenia 13 preto platí \[ \begin{aligned} x_{k_{1, 2}} &= \frac{ -G m^2 M \pm m^2\left(GM - R v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)\right)% }{% 2 \left(\frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right)m v^2 - \frac{GmM}{R}\right) m \left(1 + \frac{m}{M}\right) }, \\ x_{k_{1, 2}} &= \frac{ -\frac{GM}{R} \pm \left(\frac{GM}{R} - v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)\right) }{ \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) } R. \\ \end{aligned} \]

Keď si vyberieme znamienko mínus, dostávame riešenie \[ \begin{aligned} x_{k_{1}} &= \frac{ -2\frac{GM}{R} + v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right) }{ \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) } R, \\ x_{k_{1}} &= \frac{1}{\left(1 + \frac{m}{M}\right)}R = \frac{M}{m+M}R. \\ \end{aligned} \]

Toto je presne riešenie, ktoré je v najvzdialenejšom bode pohybu kométy. Očakávali sme, že ho dostaneme, takže toto nám potvrdzuje, že sme (pravdepodobne) nespravili chybu vo výpočte.

Keď si vyberieme znamienko plus, dostávame riešenie \[ \begin{aligned} x_{k_{2}} &= \frac{ -v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right) }{ \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) } R, \\ x_{k_{2}} &= \frac{v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R. \end{aligned} \]

Z 9 vieme dopočítať aj \(x_{h_2}\): \[ x_{h_{2}} = \frac{-\frac{m}{M}v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R. \]

V najbližšom bode sú tak kométa a hviezda vzdialené \[ x_{k_{2}} - x_{h_{2}} = \frac{\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R. \]

Ešte by sa patrilo overiť, že táto vzdialenosť je najviac \(R\). To nastane vtedy, keď \[ \begin{aligned} \frac{\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R &\leq R, \\ \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 &\leq \frac{GM}{R}, \\ v &\leq \sqrt{\frac{GM^2}{R \left(m + M\right)}}. \end{aligned} \]

V tejto nerovnosti nastane rovnosť vtedy, keď bude rýchlosť taká, že kométa bude obiehať po kružnici. Pre vyššie rýchlosti bude kométa „na opačnej strane hviezdy“ ďalej od hviezdy ako \(R\), resp. pre nižšie rýchlosti bližšie ako \(R\). Zadanie ale tvrdí, že rýchlosť \(v\) bola v najvzdialenejšom bode, a tak je táto podmienka splnená⁵. Takže môžeme s čistým svedomím prehlásiť, že kométa sa dostane k hviezde najbližšie do vzdialenosti \[ x_{k_{2}} - x_{h_{2}} = \frac{\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2}R. \]