6. Kovový závit (séria „Vyhadzovanie“) vzorové riešenie

Zadanie

Maťko má kovový závit tvaru štvorca so stranou \(L\) s celkovým odporom \(R\) a hmotnosťou \(m\). V tom sa z kurzu adrenalínových športov vrátila Lucka a rozhodla sa, že Maťkovi predvedie svoju obľúbenú zručnosť. Vzala Maťkov závit a čo čakáte – vyhodila ho do vzduchu. To však Lucka ešte nevedela, že v hornej polovici Maťkovej izby je homogénne magnetické pole s veľkosťou \(B\) také, ako vidíš na obrázku. Závit teda chvíľu letel hore, no potom začal padať. Ako tak padal cez rozhranie magnetického poľa \(B\) a oblasťou s nulovým magnetickým poľom, po istom čase sa rýchlosť jeho padania ustálila. Aká bola veľkosť rýchlosti \(v\), s ktorou závit vyletel z magnetického poľa \(B\)?

Lucka už veci vyhadzuje tak šikovne, že závit počas letu nemení orientáciu voči magnetickému poľu.

Pozrime sa najprv, čo sa deje s letiacim závitom počas jeho dobrodružnej cesty. Na začiatku sa po vyhodení nachádza v statickom magnetickom poli, takže jediná sila, ktorú závit cíti je gravitačná. Potom sa však dostane na rozhranie, kde sa už začnú diať zaujímavé veci. Nás však zaujíma, čo sa deje, keď padá dole cez rozhranie, a preto sa budeme venovať tomuto prípadu. Po prechode cez rozhranie na závit pôsobí opäť len gravitačná sila, čiže v určitom bode začne padať dole (či už vplyvom gravitačnej sily alebo stropu). Takže, poďme sa pozrieť čo sa bude diať, keď bude závit padať cez rozhranie.

Z Faradayovho zákona elektromagnetickej indukcie vieme, že ak máme uzavretý vodič a jeho vnútro sa nachádza v časovo meniacom sa magnetickom poli (to, čo sa deje mimo vodiča nás nezaujíma), tak sa vo vodiči vytvára elektrický prúd (nazývaný aj indukovaný). Teraz potrebujeme ešte zaloviť v pamäti a spomenúť si na to, ako vyzerá Lorentzova sila, konkrétne jej zložka popisujúca magnetickú silu. Tá je daná ako vektorový súčin rýchlosti náboja s magnetickým poľom a to celé je vynásobené ešte nábojom, čiže \[ \vec{F_m} = q \left(\vec{v} \times \vec{B}\right). \]

Vidíme, že ak máme nenulové magnetické pole a vo vodiči majú náboje nenulovú rýchlosť vzhľadom na vodič (čiže ním tečie prúd)¹, ktorá nie je rovnobežná s magnetickým poľom, potom na vodič pôsobí nenulová magnetická sila.

Takže si to zhrňme: pri prechode rozhraním sa vo vnútri vodiča mení magnetické pole z \(0\) na \(B\), čiže podľa Faradayvho zákona elektromagnetickej indukcie sa nám indukuje prúd, takže nastáva pohyb nábojov vo vodiči, a preto je rýchlosť nábojov nenulová. Z faktu, že závit nemenil svoju orientáciu a z obrázku v zadaní vieme, že závit sa pohybuje v rovine kolmej na \(B\). Keď sa teraz vrátime späť k magnetickej sile, vidíme, že \(B\) a \(v\) budú vždy na seba kolmé, pretože náboje nemôžu uniknúť z vodiča a teda z vektorového súčinu sa stane obyčajné násobenie.

Ešte však musíme zistiť znamienko. Teraz prišiel čas pozrieť sa na zúbky Lenzovmu zákonu: Indukovaný prúd má taký smer, že svojím magnetickým poľom pôsobí proti zmene magnetického poľa, ktorá ho vyvolala. V našom prípade síce magnetické pole smeruje od nás, ale pre nás je dôležitá zmena magnetického poľa. Keďže náš závit padá tak pole sa zmenšuje, čiže zmena je daná opačným smerom, čiže k nám a teda prúd bude daný poľom od nás.

Už sme skoro v cieli, stačí, ak si zopakujeme Ampérov zákon a pomocou pravidla pravej ruky vidíme, že ak má magnetické pole smerovať od nás (tak ako na obrázku v zadaní), potom prúd musí tiecť v smere hodinových ručičiek.

Pozrime sa aká sila pôsobí na jednotlivé strany závitu. Na bokoch závitu je sila rovnako veľká, ale opačne orientovaná, čo v ideálnom prípade spôsobí, že sa tieto sily navzájom vyrušia, avšak svet nie je ideálny a teda závit sa vplyvom týchto síl mierne zdeformuje.

Nás však zaujíma sila \(F_2\), ktorá pôsobí proti gravitačnej sile a bude spôsobovať to, že závit sa po čase pri prechode cez rozhranie ustáli. Takže máme rovnicu \[ \begin{aligned} F_g &= F_2, \\ mg = qvB. \\ \end{aligned} \]

To, čo nepoznáme, je v našom prípade rýchlosť pohybujúcich sa nábojov. Keďže \(v\) je konštantná, \(v = s/t\) a ak \(s = L\), magnetickú silu vieme napísať v tvare \[ F_2 = L \left(\frac{q}{t}\right) B = L I B. \] Takže potrebujeme zistiť veľkosť indukovaného prúdu. Tak poďme na to.

Indukovaný prúd vzniká v dôsledku indukovaného napätia, ktoré je dané ako záporná malá zmena magnetického toku \(\Delta \Phi\) za malý čas \(\Delta t\). \[ U = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \] Predpokladajme, že závit padá už ustálenou rýchlosťou, takže môžeme napísať, že závit poklesne o \(\Delta y = v \Delta t\) a teda celková plocha sa zmení o \(\Delta S = L \Delta y = L v \Delta t\). Pole \(B\) sa nám v čase nemení, a preto \[ \Delta \Phi = \Delta S B = L v \Delta t B. \] Z toho dostávame vzťah pre \(U\), \[ U = - L v B. \]

Dosadením \(U = RI\) dostávame, že \(I = \frac{BvL}{R}\). Tento výsledok dosadíme do vzťahu pre magnetickú silu a z rovnosti magnetickej a gravitačnej sily dostávame vzťah pre rýchlosť ako \[ v = \frac{mgR}{B^2 L^2}. \]

Na záver sa pre zaujímavosť môžeme pozrieť na to, čo sa deje, keď závit letí hore a pri tom prechádza cez rozhranie. Keďže magnetické pole sa nám postupne zväčšuje, zmena magnetického poľa bude smerovať k nám a teda opäť z Lenzovho zákona dostávame, že prúd pôjde proti smeru hodinových ručičiek, takže magnetická sila bude smerovať dole a teda z Flemingovho pravidla ľavej ruky zisťujeme, že závit bude spomaľovaný. Takže sa nám môže stať, že ak Lucka vyhodí závit s malou počiatočnou rýchlosťou, tak závit nemusí celý prejsť rozhraním.