7. Vyliečená vzorové riešenie

Označme objem vody v nádobe \(\mathcal{V}\). Objem vzduchu pred a po potiahnutí je potom \(V-\mathcal{V}\), respektíve \(5V-\mathcal{V}\) Potrebujeme si rozmyslieť, čo sa dialo počas Hovorcovho ťahu s vodou a vzduchom v pieste. Predpokladať, že Hovorca spakruky zvládne sprostredkovať izobarickú expanciu je trochu precenenie jeho síl, že izochorickú zas podcenenie. Na to, aby bola expanzia izotermická, by zas musela byť veľmi pomalá, čo zadanie nijak nenaznačuje. Z jednoduchých termodynamických dejov sa ako najlepší model javí adiabatická expanzia, bola by v súlade s predpokladom konečnej tepelnej vodivosti stien piestu a Hovorcovej trpezlivosti. O tlaku vzduchu po expanzii teda hovorí vzťah: \[ p\left(5V-\mathcal{V}\right)^\kappa=p_{atm.}\left(V-\mathcal{V}\right)^\kappa \] O vode je zas kvôli jej vlastnostiam (veľká tepelná kapacita a malá stlačiteľnosť) rozumné predpokladať, že nezmení (veľmi) svoj objem ani teplotu. Zostáva zúžitkovať vzťah z Wikipédie odporučený zadaním, pričom \(T=\SI{293.15}{\kelvin}\) je teplota vody pri ktorej chceme aby vrela, a \(T_{atm.}=373.15\) je teplota varu vody pri atmosferickom tlaku. Potom: \[ \frac{1}{T}-\frac{1}{T_{atm.}}=\frac{R}{\Delta H_{vap}}\ln{\frac{p_{atm.}}{p}} \] \[ \frac{1}{T}-\frac{1}{T_{atm.}}=\frac{\kappa R}{\Delta H_{vap}}\ln{\frac{5V-\mathcal{V}}{V-\mathcal{V}}} \] \[ \mathcal{V}=\frac{e^{\frac{\Delta H_{vap}}{\kappa R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{atm.}}\right)}-5}{e^{\frac{\Delta H_{vap}}{\kappa R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{atm.}}\right)}-1}V \] Keďže vzduch je zväčša tvorený dvojatómovými molekulami, \(\kappa\approx \frac{7}{5}\) a tabuľková hodnota merného skupenského tepla vyparovania vody je \(\Delta H_{vap}=\SI[per-mode=symbol]{40660}{\joule\per\mole}\), výsledok je: \[ \mathcal{V}\approx \SI{0.66}{\milli\litre} \]