3. Ďalekohľad, ktorý nezväčšuje? vzorové riešenie

Na úvod si zopakujme, čo o zobrazovaní šošovkami vieme a budeme to potrebovať pre vyriešenie tejto úlohy. Zobrazovanie šošovkami popisuje tzv. zobrazovacia rovnica \[ \frac{1}{f}=\frac{1}{a_{p}}+\frac{1}{a_{o}}\textrm{,} \] kde \(f\) je ohnisková vzdialenosť šošovky, \(a_{p}\) je predmetová vzdialenosť, t.,j. vzdialenosť predmetu od šošovky, a \(a_{o}\) je obrazová vzdialenosť, čiže vzdialenosť obrazu od šošovky. Pre priečne zväčšenie šošovky platí \(Z=-\frac{a_{o}}{a_{p}}\). Toť vše. Vskutku jednoduché, nie? Teraz to už len stačí dať správne dokopy.

Nech ohnisková vzdialenosť objektívu Kvíkovho Keplerovho ďalekohľadu je \(f_{1}\) a ohnisková vzdialenosť okuláru \(f_{2}\). Pre každý slušný Keplerov ďalekohľad platí, že \(f_{1}>f_{2}\). Ďalej označme vzdialenosť pozorovaného predmetu od objektívu ďalekohľadu ako \(a\), obrazovú vzdialenosť objektívu \(a_{1}\) a obrazovú vzdialenosť okuláru \(a_{2}\). Vzhľadom na to, že obrazové ohnisko objektívu má splývať s predmetovým ohniskom okuláru, je predmetová vzdialenosť okuláru \(f_{1}+f_{2}-a_{1}\). Kvík pozoruje vzdialené objekty, preto zrejme \(a\gg f_{1}\textrm{,\,}f_{2}\).

Zostavme si jednotlivé rovnice:

• zobrazovacia rovnica objektívu: \[ \frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a_{1}}\textrm{;} \]
• zobrazovacia rovnica okuláru: \[ \frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{f_{1}+f_{2}-a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\textrm{;} \]
• priečne zväčšenie objektívu: \[ Z_{1}=-\frac{a_{1}}{a}\textrm{;} \]
• priečne zväčšenie okuláru: \[ Z_{2}=-\frac{a_{2}}{f_{1}+f_{2}-a_{1}}\textrm{.} \]

Zo zobrazovacej rovnice objektívu dostávame \[ a_{1}=\frac{af_{1}}{a-f_{1}} \] a zo zobrazovacej rovnice okuláru \[ a_{2}=\frac{f_{2}\left(f_{1}+f_{2}-a_{1}\right)}{f_{1}-a_{1}}\textrm{.} \]

Zadanie nám našepkáva, že priečne zväčšenie sústavy šošoviek je rovné súčinu priečnych zväčšení jednotlivých šošoviek sústavy. Postupnými úpravami dostávame \[\begin{aligned} Z=Z_{1}\cdot Z_{2}=\frac{a_{1}a_{2}}{a\left(f_{1}+f_{2}-a_{1}\right)}=\frac{\frac{\cancel{a}f_{1}}{a-f_{1}}\cdot\frac{f_{2}\cancel{\left(f_{1}+f_{2}-a_{1}\right)}}{f_{1}-a_{1}}}{\cancel{a}\cancel{\left(f_{1}+f_{2}-a_{1}\right)}} =\frac{f_{1}f_{2}}{\left(a-f_{1}\right)\left(f_{1}-\frac{af_{1}}{a-f_{1}}\right)}=\frac{f_{1}f_{2}}{af_{1}-f_{1}^{2}-af_{1}}=\frac{f_{1}f_{2}}{-f_{1}^{2}}=-\frac{f_{2}}{f_{1}}\textrm{.} \end{aligned}\] Znamienko mínus vo výsledku nám prezrádza, že obraz je prevrátený. Nás ale zaujíma najmä absolútna hodnota tohto výrazu, ktorá je menšia než 1, a teda obraz je naozaj zmenšený.

To bola tá ľahšia časť úlohy. Zistili sme, že Kvík sa vo výpočtoch nepomýlil, alebo sme sa pomýlili aj my spolu s ním. Vychádzajme z toho, že sme chybu vo výpočtoch nespravili – veď sme predsa nejakí fyzici! V takom prípade potrebujeme prísť na to, kde nastáva problém.

Zamyslime sa nad tým, čo znamená priečne zväčšenie. Udáva nám, koľkokrát je obraz väčší v porovnaní s predmetom. Ak nám vyšlo priečne zväčšenie menšie ako 1, znamená to, že obraz je menší než predmet. Znamená to ale, že musíme vidieť pozorovaný objekt ako zmenšený? Nie! Teda nie nutne. To predsa závisí aj od toho, ako ďaleko sa od nás obraz nachádza. Veď aj napríklad tento vzorák sa vám bude čítať lepšie z vášho smartfónu, ktorý práve držíte v rukách, ako z monitoru počítača v susedovom okne cez ulicu.

To, ako veľký sa nám pozorovaný objekt zdá, nezávisí od jeho veľkosti, ale od zorného uhla, pod ktorým ho vidíme. Nájdime si teda zorný uhol \(\alpha\), pod ktorým Kvík vidí skutočný objekt, a zorný uhol \(\alpha^{\prime}\), pod ktorým vidí jeho obraz v ďalekohľade.

Nech \(A\) je skutočná veľkosť objektu, ktorý sa od Kvíkovho oka nachádza vo vzdialenosti \(a+f_{1}+f_{2}\). Potom by ho bez ďalekohľadu videl pod zorným uhlom \[ \alpha=\left|\frac{A}{f_{1}+f_{2}+a}\right|\textrm{,} \] kde \(\alpha\) je zorný uhol v radiánoch.¹ Ten istý objekt vidí cez ďalekohľad pod zorným uhlom \[ \alpha^{\prime}=\left|\frac{Z\cdot A}{a_{2}}\right|\textrm{,} \] keďže obraz vzniká vo vzdialenosti \(a_{2}\) od okuláru ďalekohľadu, čo je zároveň aj jeho vzdialenosť od oka, a je \(Z\)-krát zväčšený. Zväčšenie ďalekohľadu je potom \[ M=\frac{\alpha^{\prime}}{\alpha}=\left|Z\cdot\frac{f_{1}+f_{2}+a}{a_{2}}\right|\textrm{.} \]

Ako vidíme, potrebujeme si vyjadriť obrazovú vzdialenosť okuláru pomocou predmetovej vzdialenosti objektívu. Postupne dostávame \[\begin{aligned} a_{2}=\frac{f_{2}\left(f_{1}+f_{2}-a_{1}\right)}{f_{1}-a_{1}}=\frac{f_{2}\left(f_{1}+f_{2}-\frac{af_{1}}{a-f_{1}}\right)}{f_{1}-\frac{af_{1}}{a-f_{1}}} =\frac{f_{2}\left(af_{1}-f_{1}^{2}+af_{2}-f_{1}f_{2}-af_{1}\right)}{af_{1}-f_{1}^{2}-af_{1}}=\frac{f_{2}\left(-f_{1}^{2}+af_{2}-f_{1}f_{2}\right)}{-f_{1}^{2}}\textrm{.} \end{aligned}\] Po dosadení do výrazu pre zväčšenie ďalekohľadu dostávame \[ M=\left|-\frac{f_{2}}{f_{1}}\cdot\frac{f_{1}+f_{2}+a}{\frac{f_{2}\left(-f_{1}^{2}+af_{2}-f_{1}f_{2}\right)}{-f_{1}^{2}}}\right|=\left|\frac{f_{1}\left(f_{1}+f_{2}+a\right)}{-f_{1}^{2}+af_{2}-f_{1}f_{2}}\right|\textrm{.} \] Za predpokladu, že pozorovaný objekt je dostatočne vzdialený, platí \(a\gg f_{1}\textrm{,\,}f_{2}\), resp. \(af_{2}\gg f_{1}^{2}\textrm{,\,}f_{1}f_{2}\), preto \[ M\approx\frac{af_{1}}{af_{2}}=\frac{f_{1}}{f_{2}}>1\textrm{.} \] Uhlové zväčšenie Keplerovho ďalekohľadu nám vyšlo väčšie ako 1, takže ďalekohľad funguje.

Zhodou okolností nám vyšlo, že uhlové zväčšenie ďalekohľadu pri pozorovaní vzdialených objektov je \[ M\approx\frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{1}{Z}\textrm{,} \] čo je prevrátená hodnota priečneho zväčšenia. Ako je to možné? Pozrime sa na výraz pre obrazovú vzdialenosť okuláru. Za predpokladu pozorovania ďalekých objektov platí \[ a_{2}=\frac{f_{2}\left(-f_{1}^{2}+af_{2}-f_{1}f_{2}\right)}{-f_{1}^{2}}\approx\frac{af_{2}^{2}}{-f_{1}^{2}}=-\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{2}a=-Z^{2}a\textrm{.} \] Znamienko mínus hovorí len, že obraz vzniká pred okulárom. Nás zaujímajú hlavne absolútne hodnoty. Zistili sme, že obraz je \(Z^{2}\)-krát bližšie, takže to dokonale sedí. Obraz je síce \(Z\)- krát zmenšený, lenže je až \(Z^{2}\)-krát bližšie, preto ho vidíme pod \(Z\)-násobne väčším zorným uhlom, a teda ho vidíme zväčšený.