5. Súmrak Krtov vzorové riešenie

Zase raz astrofyzika! Tí sa museli zblázniť! Po prečítaní zadania sa mohol kde-kto vydesiť. My si však ukážeme, že nemusíte byť víťazmi Medzinárodnej Astronomickej olympiády, aby ste túto úlohu zvládli. Urobte si horúcu čokoládu, pohodlne sa usaďte a kochajte sa, ako astrofyzikálnu úlohu rieši neastrofyzik.

Zadanie nám hovorí, že Krtkov vesmír je akýsi prázdny. Okrem neho a hviezd sa tam nenachádza nič, čo by mu bránilo vo výhľade. Ak sa teda chce vyhnúť svetlu niektorej z hviezd, musí sa od nej nevyhnutne vzdialiť. Ako prvú vec si vysvetlime, prečo to funguje.

Hviezdy sú zdrojom elektromagnetického vlnenia.¹ Za jednotku času vyžiaria v jeho podobe isté množstvo energie, teda každá hviezda má nejaký výkon \(P\). Táto energia sa šíri rovnomerne všetkými smermi do priestoru. To znamená, že na jednotkovú plochu vo vzdialenosti \(r\) dopadá výkon \(\frac{P}{4\pi r^{2}}\). Vidíme teda, že množstvo dopadajúcej energie klesá so vzdialenosťou ako \(\frac{1}{r^{2}}\). No a to, ako jasná sa nám hviezda javí, súvisí práve s tým, koľko energie nám dopadá do oka.²

Zadefinujme veličinu, ktorá bude popisovať práve hustotu výkonu elektromagnetickej vlny a nazvime ju intenzita \(I\).³ Intenzita vo vzdialenosti \(r\) od hviezdy bude \(I\left(r\right)=\frac{A}{r^{2}},\) kde \(A\) je nejaká konštanta špecifická pre každú hviezdu, ktorá súvisí s výkonom hviezdy.

Vidíme, že dve hviezdy s rôznym výkonom môžu byť rovnako jasné – stačí, ak sa “výkonnejšia” hviezda⁴ nachádza vo väčšej vzdialenosti. Uvedomme si však jednu vec – ak dve rôzne hviezdy sú rovnako jasné, teda v danom mieste majú rovnakú intenzitu, tak intenzita slabšej hviezdy⁵ klesá rýchlejšie. Ak by sme to chceli matematicky dokázať, potrebovali by sme vedieť derivovať.⁶ Dá sa na to ale prísť aj na základe skúsenosti. Predstavte si, že v noci stojíte pod pouličnou lampou a nad horizontom svieti mesiac. Stojíte práve na takom mieste, kde je intenzita od oboch zdrojov rovnaká. Stačí sa však vzdialiť od lampy pár desiatok metrov a jej intenzita bude o poznanie nižšia než intenzita mesiaca.

To nám dáva jedno dôležité ponaučenie – nestačí, aby sa Krtko pohol smerom k najjasnejšej hviezde. Pokojne sa môže stať, že najjasnejšou hviezdou na nočnej oblohe je obrovská hviezda kdesi ďaleko, a pritom niekde blízko sa nachádza slabučká hviezda, ku ktorej keď Krtko príde dostatočne blízko, stane sa najjasnejšou hviezdou, podobne ako lampa v príklade s mesiacom.

Niekde však začať treba. Zoberieme teda najjasnejšiu hviezdu na nočnej oblohe – tou je Sírius – a nájdeme vzdialenosť \(r_{\mathrm{min}}\), ktorú by musel Krtko prejsť, aby bol Sírius jasnejší než Slnko. Rozhodne vieme povedať, že každá hviezda, ktorá je ku Krtkovi bližšie než \(r_{\mathrm{min}}\), sa stane najjasnejším objektom, ak k nej príde dostatočne blízko. To znamená, že ak má byť Sírius správnou voľbou, nemôže existovať žiadna iná hviezda v okruhu \(r_{\mathrm{min}}\) od Krtka. To je však len nutnou, nie postačujúcou podmienkou.

Ďalej je očividné, že neexistuje žiadna vzdialenejšia hviezda než Sírius, ku ktorej keby sa Krtko vybral, stačilo by mu uraziť menšiu vzdialenosť, než musí prejsť, keď sa vyberie k Síriovi. Dokážeme si to sporom.

Najskôr predpokladajme, že taká hviezda existuje a je slabšia než Sírius. To znamená, že jej intenzita klesá rýchlejšie než Síriova. Ak má Krtkovi stačiť prejsť menšiu vzdialenosť, než keď sa vyberie k Síriovi, musí byť intenzita tejto hviezdy vo vzdialenosti \(r_{\mathrm{min}}\) aspoň rovnaká ako intenzita Síria v tejto vzdialenosti. Lenže intenzita neznámej hviezdy rastie rýchlejšie než intenzita Síria, keďže je menšia. Navyše je aj ďalej. To znamená, že ak sa Krtko priblíži na rovnakú štandardizovanú jednotkovú vzdialenosť raz k jednej a potom k druhej hviezde, tak intenzita neznámej hviezdy bude vyššia, čo je v spore s predpokladom, že neznáma hviezda je slabšia.

Teraz predpokladajme, že neznáma hviezda je silnejšia. Opäť platí, že aby bola táto hviezda lepšou voľbou než Sírius, musí byť jej intenzita vo vzdialenosti \(r_{\mathrm{min}}\) od Krtka aspoň rovnaká ako Síriova v tejto vzdialenosti. Lenže intenzita “výkonnejšej” hviezdy klesá pomalšie, preto v Krtkovom počiatočnom mieste bude jej intenzita vyššia než intenzita Síria, čo je tentokrát v rozpore s tým, že Sírius je najjasnejšia hviezda na nočnej oblohe.

Ešte potrebujeme preveriť hviezdy, ktorých vzdialenosť od Krtka je \(r\in\left(r_{\mathrm{min}};d\right)\), kde \(d\) je vzdialenosť k Síriovi. Aj pre tieto hviezdy platí, že ak má byť Sírius tou správnou voľbou pre Krtka, tak ich intenzita vo vzdialenosti \(r_{\mathrm{min}}\) musí byť menšia než intenzita Síria.

Poďme ale pekne po poriadku. Nájdime najskôr vzdialenosť \(r_{\mathrm{min}}\). Ak sa ukáže, že existuje nejaká hviezda v okruhu \(r_{\mathrm{min}}\) od Krtka, tak potom táto hviezda je pre Krtka najvhodnejšia a my nemusíme skúmať žiadne ďalšie podmienky.

Dohodnime sa, že za počiatok O súradnicovej sústavy zoberieme polohu Krtka a vzdialenosť \(r\) budeme merať od tohto bodu. Intenzita Slnka sa potom mení ako \(I_{\mathrm{s}}\left(r\right)=\frac{A_{\mathrm{s}}}{\left(r+a\right)^{2}}\), kde \(a\) označuje vzdialenosť Slnka od počiatku súradnicovej sústavy, a intenzita Síria ako \(I_{\mathrm{d}}\left(r\right)=\frac{A_{\mathrm{d}}}{\left(r-d\right)^{2}}\).

Hľadáme takú vzdialenosť \(r_{\mathrm{min}}\), pre ktorú platí \(I_{\mathrm{s}}\left(r_{\mathrm{min}}\right)=I_{\mathrm{d}}\left(r_{\mathrm{min}}\right)\). Vyriešením tejto rovnice dostávame \[ r_{\mathrm{min}}=\frac{\sqrt{A_{\mathrm{s}}}d-\sqrt{A_{\mathrm{d}}}a}{\sqrt{A_{\mathrm{s}}}+\sqrt{A_{\mathrm{d}}}}\text{.} \]

Nepáči sa nám, že vo výsledku vystupujú neznáme konštanty \(A\), ktorých hodnoty nepoznáme. Čo však poznáme dobre, je intenzita \(I\left(\text{O}\right)\), s ktorou vidíme hviezdu zo Zeme. Nájdime teda prepočet medzi \(I\left(\text{O}\right)\) a \(A\). To však nie je žiaden problém. Platí, že \(I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)=\frac{A_{\mathrm{s}}}{a^{2}}\) a \(I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)=\frac{A_{\mathrm{d}}}{d^{2}}\), preto \[ r_{\mathrm{min}}=\frac{\sqrt{I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)} - \sqrt{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}}{\sqrt{I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)}a + \sqrt{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}d}ad\text{.} \]

Ľudské oko však dokáže zaznamenať širokú škálu intenzít pokrývajúcu mnoho rádov, preto sa astrofyzici rozhodli zaviesť logaritmickú stupnicu na určovanie hviezdnej veľkosti. To dáva perfektný zmysel. Už trocha menší zmysel dáva, prečo sa jasnejším hviezdam rozhodli priradiť menšiu magnitúdu.

Jednotkou hviezdnej veľkosti je magnitúda. V skutočnosti existujú dva typy magnitúd – absolútna a zdanlivá. Absolútna hviezdna veľkosť dáva do súvisu intenzity hviezd v štandardizovanej vzdialenosti od tej-ktorej hviezdy. Zdanlivá magnitúda určuje hviezdnu veľkosť pri pozorovaní zo Zeme. Prevod medzi intenzitami⁷ a hviezdnymi magnitúdami poskytuje Pogsonova rovnica \[ m_{1}-m_{2}=\num{-2.5}\log\frac{I_{1}\left(\text{O}\right)}{I_{2}\left(\text{O}\right)}\text{.} \] V našom prípade používame intenzity prepočítané do miesta Zeme, takže \(m_{1,2}\) predstavujú zdanlivé hviezdne magnitúdy.

Teraz nám nič nebráni urobiť prepočet medzi intenzitami a hviezdnymi magnitúdami. Všimnime si, že vo výpočtoch sa nám vyskytujú výrazy typu \(\sqrt{\frac{I_{1}\left(\text{O}\right)}{I_{2}\left(\text{O}\right)}}\). Z definície magnitúd platí \[ \sqrt{\frac{I_{1}\left(\text{O}\right)}{I_{2}\left(\text{O}\right)}}=10^{\num{-0.2}\left(m_{1}-m_{2}\right)}\text{.} \] Využijúc túto formulu môžeme vzdialenosť \(r_{\mathrm{min}}\) prepísať ako \[ r_{\mathrm{min}}=\frac{\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{s}}-m_{\mathrm{d}}\right)}-\num{1}} {\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{s}}-m_{\mathrm{d}}\right)}a+d}ad\text{.} \] Na internete vyhľadáme, že \(m_{\mathrm{s}}=\num{-26.74}\), \(a=\SI{1}{AU}\), \(m_{\mathrm{d}}=\num{-1.46}\) a \(d=\SI{8.659}{ly}\). To nám umožňuje vyčísliť \[ r_{\mathrm{min}}\doteq\SI{1.4928}{ly}\text{.} \] To nás ale neteší, lebo žiadna hviezda okrem Slnka neleží v takomto okruhu od Zeme,⁸ preto stále nemôžeme vylúčiť, že Sírius je pre Krtka skutočne tou najlepšou voľbou. Musíme teda ešte prešetriť všetky hviezdy v intervale \(r\in\left(r_{\mathrm{min}};d\right)\). Našťastie ich nie je až toľko.

Už sme uviedli, že nutnou podmienkou toho, aby Sírius bol pre Krtka tou správnou voľbou, je, že pre všetky hviezdy, ktorých vzdialenosť \(r=x\) je z intervalu \(\left(r_{\mathrm{min}};d\right)\), musí platiť, že ich intenzita vo vzdialenosti \(r_{\mathrm{min}}\) nie je väčšia než intenzita Síria v tejto vzdialenosti, čiže matematicky zapísané \[ \forall x\in\left(r_{\mathrm{min}};d\right)\,:\,I_{\mathrm{x}}\left(r_{\mathrm{min}}\right) \leq I_{\mathrm{d}}\left(r_{\mathrm{min}}\right)\text{.} \] Ak by toto niektorá z hviezd porušovala, okamžite by sa stala horúcim kandidátom na víťaza a museli by sme pre ňu poctivo vykonať výpočet vzdialenosti, pri ktorej sa stane jasnejšou než Slnko, a tú potom porovnať s ostatnými takými kandidátmi. Ak sa však taká hviezda nenájde, potom Síria už nič neprekoná. Poďme teda na to.

V prvom rade naša podmienka hovorí, že \[ \frac{A_{\mathrm{x}}}{\left(r_{\mathrm{min}}-x\right)^{2}}\leq\frac{A_{\mathrm{d}}}{\left(r_{\mathrm{min}}-d\right)^{2}}\text{.} \] Odtiaľ pre \(x,d>r_{\mathrm{min}}\) platí \[ x\geq\sqrt{\frac{A_{\mathrm{x}}}{A_{\mathrm{d}}}}\left(d-r_{\mathrm{min}}\right)+r_{\mathrm{min}}\text{.} \] Po dosadení príslušných výrazov za \(A_{\mathrm{x},\mathrm{d}}\) a \(r_{\mathrm{min}}\) a miernom preusporiadaní dostávame podmienku \[ 1\geq\sqrt{\frac{I_{\mathrm{x}}\left(\text{O}\right)}{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}}\left(1 - \frac{\sqrt{I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)} - \sqrt{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}}{\sqrt{I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)}a + \sqrt{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}d}a\right)+\frac{\sqrt{I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)} - \sqrt{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}}{\sqrt{I_{\mathrm{s}}\left(\text{O}\right)}a + \sqrt{I_{\mathrm{d}}\left(\text{O}\right)}d}\frac{ad}{x}\text{.} \] Na záver to ešte prepíšeme v intenciách zdanlivých magnitúd a dostaneme \[ \num{1}\geq\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{x}} - m_{\mathrm{d}}\right)}\left(1 - \frac{\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{s}}-m_{\mathrm{d}}\right)} - \num{1}}{\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{s}} - m_{\mathrm{d}}\right)}a+d}a\right) + \frac{\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{s}} - m_{\mathrm{d}}\right)}-\num{1}}{\num{10}^{\num{-0.2}\left(m_{\mathrm{s}} - m_{\mathrm{d}}\right)}a+d}\frac{ad}{x}\text{.} \] Už to len stačí overiť pre jednotlivé hviezdy a sme hotoví. Prehľad jednotlivých hviezd je uvedený v tabuľke. Vidíme, že každá z hviezd podmienku s prehľadom spĺňa, preto je Sírius naozaj najlepšou voľbou.