Zadanie
Hmotný bod hmotnosti \(M=1000m\) si to vo voľnom priestore hasí rýchlosťou \(u\) kolmo smerom na nekonečne ťažkú stenu. Vo vzdialenosti \(L\) od steny mu však stojí v ceste zatiaľ nehybný hmotný bod hmotnosti \(m\). Koľkokrát sa hmotné body zrazia predtým, než sa prvý začne od steny vzďaľovať? Ako najbližšie k stene sa dostane? Všetky zrážky sú pružné.
Úloha síce je riešiteľná analyticky, avšak matematická stránka takéhoto postupu je náročná. Odporúčame preto použiť výpočtovú techniku.
Ako je v zadaní povedané, body sa budú pružne zrážať. To znamená, že okrem hybnosti sa každou zrážkou nezmení ani ich energia. Označme \(u_n\) rýchlosť hmotného bodu s hmotnosťou \(M\) po \(n\)-tej zrážke, pričom \(u_0=u\). Analogicky definujeme aj \(v_n\), pričom \(v_0=0\). Zákon zachovania mechanickej energie môžeme zapísať ako \[ \frac{1}{2}Mu_n^2+\frac{1}{2}mv_n^2=\frac{1}{2}Mu_{n+1}^2+\frac{1}{2}mv_{n+1}^2 \]
Aby sme užitočne sformulovali zákon zachovania hybnosti počas zrážky, musíme si ujasniť niektoré smery rýchlostí (znamienka pri jednotlivých členoch). Pred \(n+1\)-ou zrážkou sa k stene rýchlosťou \(u_n\) blíži ťažší z hmotných bodov, pričom naproti mu ide ľahší rýchlosťou \(v_n\), ktorou sa po \(n\)-tej zrážke a pred odrazom od steny hýbal smerom k stene 1. Teda \[ Mu_n-mv_n=Mu_{n+1}+mv_{n+1} \]
Skúsenosť hovorí, že je užitočné poriadne si oba vzťahy upraviť2 na tvar \[ M(u_n-u_{n+1})(u_n+u_{n+1})=m(v_{n+1}+v_n)(v_{n+1}-v_n) \] \[ M(u_n-u_{n+1})=m(v_n+v_{n+1}) \] Táto sústava rovníc má dve riešenia. Jedno z nich je ale triviálny proces “nič sa nestane”3. Ak s ním nerátame, je ekvivalentnou úpravou predeliť prvú rovnicu druhou.
Dostaneme sústavu už len lineárnych rovníc \[ u_n+u_{n+1}=v_{n+1}-v_n \] \[ M(u_n-u_{n+1})=m(v_n+v_{n+1}) \]
Tá sa dá ľahko vyriešiť štandardnými metódami. Výsledkom sú nasledujúce vzťahy: \[ u_{n+1}=\frac{M-m}{M+m}u_n-\frac{2m}{M+m}v_n \] \[ v_{n+1}=\frac{M-m}{M+m}v_n+\frac{2M}{M+m}u_n \]
Pre potreby ďalšieho počítania je vhodné predeliť obe rovnice \(u\) (t.j. vyjadrovať ďalej rýchlosti v jednotkách \(u\)), a dosadiť za \(M\) hodnotu zo zadania. Vzťahy nadobudnú podobu: \[ \frac{u_{n+1}}{u}=\frac{999}{1001}\frac{u_n}{u}-\frac{2}{1001}\frac{v_n}{u} \] \[ \frac{v_{n+1}}{u}=\frac{999}{1001}\frac{v_n}{u}+\frac{2000}{1001}\frac{u_n}{u} \] Pričom počiatočné podmienky sú po novom \(\frac{u_0}{u}=1\) a \(\frac{v_0}{u}=0\).
Ešte treba podoknúť, že nás zaujíma také \(n\), že \(u_n\) bude záporné (vtedy sa ťažší hmotný bod začne od steny vzdaľovať). Už sme plne vyzbrojený zapnúť tabuľkový kalkulátor a v priebehu pár minúť zodpovedať prvú otázku zo zadania. Na zodpovedanie druhej nám však treba sledovať aj nejakú polohu zrážok. Označme teda \(L_n\) vzdialenosť bodov od steny počas \(n+1\)-ej zrážky4. Označme pracovne čas od \(n-1\)-ej do \(n\)-tej zrážky \(t_n\). Ak sa zamyslíme nad tým, ako sa budú hýbať body medzi zrážkami, mali by sme pomerne rýchlo dospieť k týmto vzťahom5: \[ L_n=L_{n-1}-u_nt_n \] \[ v_nt_n=L_n+L_{n-1} \] Z nich vieme vyjadriť: \[ L_n=\frac{v_n-u_n}{v_n+u_n}L_{n-1} \] Pre potreby numerického riešenia je zase potrebným prerobenie do bezrozmerných veličín (\(\frac{L_0}{L}=1\)): \[ \frac{L_n}{L}=\frac{\frac{v_n}{u}-\frac{u_n}{u}}{\frac{v_n}{u}+\frac{u_n}{u}}\frac{L_{n-1}}{L} \]
Už stačí len pošrotiť uvedené vzťahy v tabuľkovom kalkulátore6 (i keď presnosť výpočtov bola väčšia, uvádzame hodnoty s presnosťou len na 3 desatinné miesta).
| \(n\) | \(u_n[u]\) | \(v_n[u]\) | \(L_n[L]\) |
|---|---|---|---|
| \(\num{0}\) | \(\num{1}\) | \(\num{0}\) | \(\num{1}\) |
| \(\num{1}\) | \(\num{0.998}\) | \(\num{1.998}\) | \(\num{0.334}\) |
| \(\num{2}\) | \(\num{0.992}\) | \(\num{3.988}\) | \(\num{0.201}\) |
| \(\num{3}\) | \(\num{0.982}\) | \(\num{5.962}\) | \(\num{0.144}\) |
| \(\num{4}\) | \(\num{0.968}\) | \(\num{7.912}\) | \(\num{0.113}\) |
| \(\num{5}\) | \(\num{0.950}\) | \(\num{9.831}\) | \(\num{0.093}\) |
| \(\num{6}\) | \(\num{0.929}\) | \(\num{11.710}\) | \(\num{0.079}\) |
| \(\num{7}\) | \(\num{0.904}\) | \(\num{13.543}\) | \(\num{0.069}\) |
| \(\num{8}\) | \(\num{0.875}\) | \(\num{15.321}\) | \(\num{0.062}\) |
| \(\num{9}\) | \(\num{0.842}\) | \(\num{17.039}\) | \(\num{0.056}\) |
| \(\num{10}\) | \(\num{0.807}\) | \(\num{18.688}\) | \(\num{0.051}\) |
| \(\num{11}\) | \(\num{0.768}\) | \(\num{20.262}\) | \(\num{0.048}\) |
| \(\num{12}\) | \(\num{0.726}\) | \(\num{21.756}\) | \(\num{0.044}\) |
| \(\num{13}\) | \(\num{0.681}\) | \(\num{23.162}\) | \(\num{0.042}\) |
| \(\num{14}\) | \(\num{0.633}\) | \(\num{24.476}\) | \(\num{0.040}\) |
| \(\num{15}\) | \(\num{0.583}\) | \(\num{25.692}\) | \(\num{0.038}\) |
| \(\num{16}\) | \(\num{0.531}\) | \(\num{26.806}\) | \(\num{0.037}\) |
| \(\num{17}\) | \(\num{0.476}\) | \(\num{27.812}\) | \(\num{0.035}\) |
| \(\num{18}\) | \(\num{0.419}\) | \(\num{28.708}\) | \(\num{0.034}\) |
| \(\num{19}\) | \(\num{0.361}\) | \(\num{29.488}\) | \(\num{0.034}\) |
| \(\num{20}\) | \(\num{0.302}\) | \(\num{30.151}\) | \(\num{0.033}\) |
| \(\num{21}\) | \(\num{0.241}\) | \(\num{30.693}\) | \(\num{0.032}\) |
| \(\num{22}\) | \(\num{0.179}\) | \(\num{31.113}\) | \(\num{0.032}\) |
| \(\num{23}\) | \(\num{0.116}\) | \(\num{31.408}\) | \(\num{0.032}\) |
| \(\num{24}\) | \(\num{0.053}\) | \(\num{31.578}\) | \(\num{0.032}\) |
| \(\num{25}\) | \(\num{-0.010}\) | \(\num{31.621}\) | \(\num{0.032}\) |
Vidíme, že pre hodnoty zo zadania sú odpovede na otázky zo zadania \(25\) a približne \(0.032L\).
Za spomenutie stojí, že aj keď sa hybnosť zachováva medzi počas zrážky, nezachováva sa celkovo, a to kvôli odrazom ľahšieho bodu od steny.↩
Použijúc \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).↩
Triviálne totiž spĺňa ako ZZH, tak aj ZZE.↩
Zdá sa to síce neprirodzené, ale umožňuje nám to mať \(L_0=L\). Je to teda vzdialenosť, v ktorej sa zrazia body keď majú rýchlosti \(u_n\), \(v_n\)↩
Ak sa vám nepozdávajú, skúste naformulovať ich tvrdenia slovne. Vie to veci ujasniť.↩
Na motiváciu do budúcna upriamime pozornosť na krásnu kosínusovú, respektíve sínusovú závislosť \(u_n\), respektíve \(v_n\)↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.