Zadanie
Pamätá si ešte niekto Vilomeniny? To bola taká tá relácia, na konci ktorej vždy vyťahovali obrus zo stola spod kopy rozložených tanierov a snažili sa rozbiť čo najmenej. Tak si teraz predstavme tanier zanedbateľných rozmerov sediaci na obruse sediacom na stole, prevísajúcom o dĺžku L. Hmotnosť obrusu je m, hmotnosť taniera M, súčiniteľ šmykového trenia medzi stolom a obrusom f1, medzi obrusom a tanierom f2 a medzi tanierom a stolom f3. Akou najmenšou silou by musel súťažiaci ťahať za obrus, aby tanier zostal na stole, ak pôvodne sedel (tanier, nie súťažiaci) na samom okraji stola?
Nuž, aj vám sa zdala táto úloha akási jednoduchá? Veruže aj bola. Ak ste si uvedomili, čo sa v jednotlivých fázach pohybu deje, vystačili ste si s elementárnou mechanikou. Poďme teda na to.
Kľúčom k úspechu bolo rozdeliť si dej na dve etapy. V prvej fáze, kým sa obrus pohybuje pod tanierom, bude na tanier pôsobiť trecia sila konštantnej veľkosti od obrusu, ktorá ho urýchľuje. V momente, keď tanier opúšťa obrus, má už nejakú rýchlosť a začne naň pôsobiť trecia sila od stola, ktorá ho bude naopak spomaľovať.1 Minimálnu potrebnú silu na vytiahnutie obrusa zrejme dostaneme, keď budeme uvažovať limitný prípad, v ktorom tanier zastane na opačnom konci stola. Keď už toto vieme, stačí nám nájsť príslušné zrýchlenia a dráhy, na ktorých prebiehajú jednotlivé fázy, a sme za vodou. Potom to už bude len o narábaní s rovničkami.
Uvažujme najskôr prvú fázu. Označme zrýchlenie obrusu a1 a zrýchlenie taniera a2. Na tanier pôsobí v horizontálnom smere len trecia sila od obrusu, preto Ma2=f2Mg⇒a2=f2g.
Na obrus pôsobí okrem trecej sily od taniera ešte aj trecia sila od stola a sila, ktorou obrus ťaháme. Preto môžeme písať ma1=F−f2Mg−f1(M+m)g⇒a1=Fm−[f2Mm+f1(1+Mm)]g.
Okamžite vidíme, že tak obrus ako i tanier sa pohybujú rovnomerne zrýchleným pohybom.
Nech tanier prejde dráhu x=12a2t21 do momentu, kedy opustí obrus. Ľubovoľný bod obrusu musí za ten istý čas t1 prejsť dráhu L+x, aby sa celý obrus dostal spod taniera. To znamená, že platí L+12a2t21=12a1t21,
odkiaľ t1=√2La1−a2.
Vylúčením času z vyjadrenia dráhy dostaneme x=a2La1−a2
a pre rýchlosť taniera v momente opustenia obrusu platí v=a2t1=a2√2La1−a2.
Poďme teraz na druhú fázu pohybu. Tá je o poznanie jednoduchšia, lebo žiaden obrus v nej už nefiguruje. Na tanier pôsobí jedine trecia sila od stola proti smeru pohybu, ktorá ho spomaľuje. Možno teda písať2 Ma3=f3Mg⇒a3=f3g.
Tanieru zostáva do konca stola prešmýkať sa vzdialenosť D−x. Vzhľadom na to, že spomaľuje z rýchlosti v a na konci stola musí zastať, tak možno písať súbor rovníc 0=v−a3t2⇒t2=va3; D−x=vt2−12a3t22=v22a3.
Vylúčením neznámych zrýchlení a dráhy x postupnými úpravami dostávame D−a2La1−a2=12a3a222La1−a2;
a1=a2(1+LD+a2a3LD)=f2g(1+LD+f2f3LD);
F={f1(M+m)+f2[M+(1+LD+f2f3LD)m]}g.
Predpokladáme, že tanier po obruse prešmykuje, čo znamená, že budeme narábať so šmykovým (dynamickým) trením. Keby tanier neprešmykoval, tak by sa vzhľadom na obrus nepohyboval a určite by skončil spolu s ním na podlahe.↩
Za kladný smer sme si tentokrát zvolili opačný než v predošlom prípade, aby sme dostali kladné spomalenie taniera, čo nám umožní písať kinematické rovnice rovnomerne spomaleného pohybu v zaužívanej konvencii so znamienkom mínus a kladným spomalením.↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.