Zadanie

V pivniciach sa nájdu všelijaké kuriozity, hlavne keď sa v nich dlho neupratuje. To bol aj Duškov prípad, ktorý nedávno v tej svojej našiel za kopou novín z osemdesiatych rokov škatuľu so starými elektronickými súčiastkami. Vybral si spomedzi nich dva ešte stále funkčne vyzerajúce kondenzátory, ktorých kapacity boli v pomere \(\frac{C_1}{C_2}=k\).

Najprv ich zapojil do série a takéto zapojenie nabil na potenciálový rozdiel \(U\). Potom si povedal, že ich zapojí paralelne. Pri tom si všimol, že na kondenzátor kapacity \(C_1\) prešiel náboj veľkosti \(q\). Duška by teraz zaujímalo, aké veľké sú hodnoty \(C_1\) a \(C_2\).

Kapacita, to je taká vec, že keď mám dve miesta, ktoré nie sú vodivo spojené, na jedno dám náboj +Q, na druhé -Q, tak aké napätie sa medzi nimi vytvorí. Teda akú prácu budem musieť vykonať, aby som preniesol nejaký malý kúsok toho náboja z jedného z tých miest na druhé.

Náboj a napätie na kondenzátore sú zviazané vzťahom \[ Q=CU\text{.} \]

A prečo sa kondenzátory toľko omieľajú, keď je to len nejaká nezaujímavá súčiastka? Preto, lebo kapacitu môžete definovať pre ľubovoľné dve miesta, ako už bolo v úvode naznačené a je to fundamentálna vlastnosť tých dvoch miest. Kondenzátor je len vec, ktorá je špeciálne vyrobená so zámerom mať čo najväčšiu kapacitu.

Keď kondenzátory pripojíme do série (za sebou) na napätie \(U\), toto napätie bude súčtom napätí na každom z kondenzátorov (čo vyplýva priamo z definície pojmu napätie). Na každom z nich sa tiež nahromadí nejaký náboj. Tieto náboje budú rovnaké. Na to môžete prísť tak, že si uvedomíte, že jedna elektróda jedného kondenzátora a druhá elektróda druhého (tie, ktoré sú spojené) tvoria celok, ktorý je od zvyšku izolovaný. No a koľko kladného náboja sa objavilo na jednej elektróde, toľko isto záporného sa musí objaviť na druhej, lebo dokopy je ten celok neutrálny.

Takže z toho nám vyplývajú rovnice \[ U=U_1+U_2=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_2}{C_2} =Q_1(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2})=Q_1\frac{1+k}{kC_2}\text{,} \]

a \[ Q_1=Q_2=\frac{C_2kU}{1+k}\text{.} \]

A teraz nastal menší problém. Zadanie sa totiž dalo interpretovať dvoma spôsobmi. Konkrétne nebolo jasné, či pri paralelnom zapojení zostanú kondenzátory pripojené na zdroj napätia, alebo už nie. Nie je to ale nič strašné, pretože to predstavuje iba malú zmenu v riešení. Preto sú tu uvedené obe možnosti.

V prípade, že kondenzátory odpojíme z batérie a spojíme paralelne (vedľa seba), docielime to, že napätia na nich budú rovnaké, lebo konzervatívnosť. Takže máme rovnice \[ q_1=\frac{C_2kU}{1+k}+q\text{,} \]

\[ q_2=\frac{C_2kU}{1+k}-q\text{,} \]

\[ \frac{q_1}{kC_2}=\frac{q_2}{C_2} \rightarrow q_1=kq_2\text{,} \]

\[ \rightarrow \frac{C_2kU}{1+k}+q=(\frac{C_2kU}{1+k}-q)k\text{,} \]

\[ C_2=\frac{q(1+k)^2}{kU(k-1)}\text{,} \]

\[ C_1=\frac{q(1+k)^2}{U(k-1)}\text{.} \]

Ak by kondenzátory pri paralelnom zapojení zostali pripojené na zdroj napätia \(U\), napätia na oboch kondenzátoroch by boli opäť rovnaké, ale teraz by sme poznali aj hodnotu toho napätia \(U\). Teda by sme mohli napríklad vyjsť z rovníc \[ q_1=\frac{C_2kU}{1+k}+q\text{,} \]

\[ \frac{q_1}{kC_2}=U\text{,} \]

\[ C_2=\frac{q(1+k)}{k^2U}\text{,} \]

\[ C_1=\frac{q(1+k)}{kU}\text{.} \]

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.