4. Ťažká chobotina vzorové riešenie

Zmyslom tejto úlohy bolo v prvom rade precvičiť Váš cit pre odhad. Nebudeme preto zbytočne plytvať miestom a pustime sa rovno do riešenia. Čo to od nás úloha vlastne chce? Odhadnúť mechanický výkon slonieho chobota, keď strieka vodu. Len dodáme, že v skutočnosti sa zaujímame o výkon jeho pľúcnych svalov pri tom, ako vytláča vodu zo svojho chobota. Samozrejme, spôsobov ako odhadnúť mechanický výkon, je mnoho.

Môžeme si napríklad nájsť údaj o tom, že slony dokážu vo svojom chobote udržať približne 8 litrov vody a potom z nejakého videa odhadnúť, ako dlho takému slonovi trvá, kým vodu zo seba dostane. Môžeme si takisto odhadnúť množstvo vody v chobote slona čisto z jeho rozmerov a z vhodnej fotky pomocou šikmého vrhu odhadnúť rýchlosť prúdiacej vody pri konci chobota. Tak či onak, každé fyzikálne aspoň trošku rozumné riešenie získalo 9 bodov, ak Vaše odhady boli niečím podložené a nevycucali ste si ich z prsta :-)

Vo vzoráku si ukážeme druhý zo spomínaných spôsobov. Predpokladajme, že sloní chobot má dĺžku \(L\) a šírku \(d\). Potom v sebe nesie vodu s hmotnosťou \(m = \rho V = \pi\frac{d^2}{4}L\rho\). Výkon má rozmer energie za čas: \(P \sim \frac{1}{2}\frac{mv^2}{t}\), čiže využijúc povedzme prietok, \[ P = \frac{1}{2}\frac{\rho V}{t}v^2 = \frac{1}{2}Q\rho v^2\text{.} \]

Prietok sa nám asi bude merať ťažko, no môžeme si znovu rozmyslieť, že rozmerovo je to plocha krát rýchlosť. Pre jednoduchosť si povedzme, že voda je uložená v celom priereze slonieho chobotu. Potom je prietok \(Q = \pi\frac{d^2}{4} v\), čiže \[ P = \frac{1}{2}\pi\frac{d^2}{4}\rho v^3\text{.} \]

Ostáva nám len určiť rýchlosť vody pri výstreku. Povedzme, že sa nám pod ruku dostane nejaká zaujímavá fotka slona, na ktorej vidno, ako strieka vodu. Potom môžeme rýchlosť vody pri výstreku odhadnúť z dostrelu a výšky výstreku. Samozrejme, efektami ako odpor vzduchu a podobne sa drzo nenecháme vyrušovať. Predpokladajme, že slon dostrelí do vzdialenosti \(D\) a pritom dosiahne voda maximálnu výšku \(H\). Spomenúc si na vzťahy pre šikmý vrh \[ D = \frac{v_0^2}{g}2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\text{,} \] \[ H = \frac{1}{2}\frac{v_0^2\sin^2(\alpha)}{g}\text{.} \]

Vyjadrením \(\sin^2(\alpha)\) z druhej rovnice a dosadením do prvej rovnice využijúc \(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\) dostaneme \[ D = 2\frac{v_0^2}{g}\sqrt{\frac{2Hg}{v_0^2}}\sqrt{\frac{v_0^2-2Hg}{v_0^2}}\text{,} \]

odtiaľ \[ v_0 = \sqrt{2g\left(H + \frac{D^2}{16H}\right)}\text{,} \]

a preto výkon možno napísať ako \[ P = \frac{1}{2}\rho\frac{\pi d^2}{4}{\left(2g\left(H + \frac{D^2}{16H}\right)\right)}^{3/2}\text{.} \]

Prierez slonieho chobota môžeme rádovo odhadnúť na nejakých približne \(\SIrange{15}{20}{\centi\metre}\). Typická výška afrického slona je asi \(\SI{3.3}{\metre}\). Zanedbaním perspektívy a odmeraním si vzdialeností na základe výšky slona napríklad z tejto fotky určíme \(H = \SI{0.55}{\metre}\) a \(D = \SI{1.85}{\metre}\). Naše údaje sú najviac zaťažené chybou pri určení výšky slona, preto sa pokojne uspokojíme s konzervatívnou chybou \(\SI{20}{\percent}\). Dosadením hodnôt získame rádový odhad výkonu slonieho chobotu približne \(\SI{800 \pm 40}{\watt}\).