2. Spojka, brzda, plyš vzorové riešenie

Zadanie

Plyš si zadovážila nové auto, zvané plyšmobil. Keďže je mladá a dynamická, hneď ho šla aj poriadne prevetrať na diaľnicu. Počas skúšobnej jazdy dobehla rýchlosťou \(\SI[per-mode = symbol]{110}{\kilo\metre\per\hour}\) pomalšie auto a skúsila ho čo najelegantnejšie predbehnúť. Z technickej dokumentácie si pamätala tento graf závislosti točivého momentu motora od jeho otáčok:

Aké otáčky teraz potrebuje dosiahnuť a ako má nastaviť prevodovku, aby jej auto po celý čas zrýchľovalo čo najprudšie? Plyšmobil má špeciálnu bezstupňovú prevodovku, ktorá vie meniť prevodový stupeň v určitom rozumnom rozpätí spojito.

Keby sme mali auto bez prevodovky, veľa toho nevymyslíme. Otáčky totiž súvisia s rýchlosťou cez \(v=\omega r\) a točivý moment (teda moment sily) je už priamo úmerný zrýchleniu: \(a = M/r\). Teda pre konštantnú rýchlosť plyšmobilu je už maximálne zrýchlenie jednoznačne zadané.¹ Lenže jej auto prevodovku má, a teda to nebude také jednoduché.

Prevodovka je zariadenie medzi hnacím hriadeľom motora a hnaným hriadeľom, ktoré dokáže meniť pomer ich otáčok. Otázka stojí nasledovne: ako sa zmení moment sily, ak zmeníme pomer otáčok? Prevodovku si môžeme predstaviť ako dve kolieska, podobne, ako prehadzovačku na bicykli. Nech predné ozubené koliesko má polomer \(r_1\), točí sa s frekvenciou \(f_1\) a moment sily naň pôsobiaci je \(M_1\). Polomer zadného kolieska nech je \(r_2\), jeho frekvencia \(f_2\) a naň pôsobiaci moment sily \(M_2\). Na zadné ozubené koliesko sa pomocou reťaze prenesie rovnaká sila, ako pôsobí na obvode prvého kolieska, teda \(F=\frac{M_1}{r_1}\). Moment sily druhého kolieska potom je \(M_2=F r_2=\frac{M_1 r_2}{r_1}\).

Reťaz sa pohybuje všade rovnakou rýchlosťou, takže platí \(f_1 = \frac{v}{2 \pi r_1}\), respektíve \(f_2 = \frac{v}{2 \pi r_2}\). Kombináciu predchádzajúcich výsledkov dostaneme \[ M_1 f_1 = M_2 f_2\text{.} \]

Toto je vcelku intuitívny výsledok. Keď máme vpredu malé koliesko a vzadu veľké, narobíme sa menej, ale ideme pomalšie. Zrýchlenie auta teraz bude \[ a=\frac{M_2}{mR}\text{,} \]

kde \(R\) je polomer kolies auta a \(m\) jeho hmotnosť. Využitím vzťahu medzi momentami sily a frekvenciami dostaneme \[ a = \frac{M_1 f_1}{mR f_2}\text{.} \]

Rýchlosť auta s frekvenciu otáčok a polomerom kolies súvisí ako \(v=2\pi f_2 R\), teda \[ a = M_1 f_1\frac{2 \pi}{mv}\text{.} \]

Vidíme, že na to, aby sme maximalizovali zrýchlenie, potrebujeme maximalizovať súčin frekvencie a momentu sily \(2 \pi M_1 f_1\). No a táto veličina nie je nič iné, ako výkon rotačného pohybu – známejšiu formu dostaneme, ak si frekvenciu premeníme na uhlovú rýchlosť pomocou vzorca \(\omega = 2 \pi f\). Potom platí \[ P = M \omega\text{.} \]

Pozrime sa teda na graf zo zadania, ktorý udáva funkciu momentu v závislosti od otáčok \(M(f)\). Po prenásobení funkcie momentu \(2\pi f\) dostaneme funkciu výkonu \(P(f)=2 \pi M_1 f_1\). Na ňom hľadáme bod \(f_\mathrm{max}\), v ktorom dosahuje naša funkcia maximum.

Tu máme dve možnosti. Prvou je, že si graf prekreslíme nanovo tak, že každú hodnotu \(M(f)\) vynásobíme \(2 \pi f\) a dostaneme nový graf \(P(f)\). Ak to spravíme poctivo, z priamok sa stanú paraboly a z tých maximum jednoducho odčítame. Alebo sa trochu zamyslíme a zistíme, že najvyššiu hodnotu môže nadobúdať iba v jednom z dvoch bodov:

• maximum točivého momentu (1500 otáčok za minútu),
• alebo pravý koniec plochej časti krivky (4000 otáčok za minútu).

To odôvodníme tak, že hodnoty \(f\) menšie, ako 1500 otáčok za minútu, majú menší aj moment, aj otáčky, takže majú určite menšiu aj hodnotu výkonu. Rovnako neprichádzajú do úvahy ani hodnoty medzi 1500 a 4000 otáčkami – nech vyberieme hociktorý bod, hodnota výkonu je určite menšia, ako \(\SI[parse-numbers = false, per-mode = symbol]{195 \cdot 4000}{\newton\metre\per\minute}\), ktorú vieme dosiahnuť na 4000 otáčkach. Nad 4000 otáčkami zase točivý moment klesá príliš rýchlo na to, aby ho rastúce otáčky stíhali kompenzovať. Priamym porovnaním hodnôt v týchto dvoch bodoch zistíme, že vyššiemu výkonu zodpovedá ten druhý.

Alebo na to pôjdeme inak: zamyslíme sa, ako na tomto grafe vyzerajú krivky rovnakého výkonu. Takýmito „vrstevnicami“ výkonu sú hyperboly – funkcie v tvare \(M = \frac{k}{f}\), kde \(k\) je ľubovoľná konštanta (a každá jej hodnota odpovedá nejakému konkrétnemu výkonu \(P\)). Ak si začneme tieto hyperboly kresliť, hneď uvidíme, že do tej s najvyšším možným \(k\) vieme začrieť práve pri 4000 otáčkach.

Maximálny výkon plyšmobilu teda po premene jednotiek na obvyklé vychádza \[ 2\pi \cdot \SI[per-mode = symbol]{780000}{\newton\metre\per\minute} = 2\pi \cdot 780000 \frac{\si{\kilo\gram\metre\per\second\squared\metre}}{\SI{60}{\second}} \doteq \SI{81681}{\kilo\gram\metre\squared\per\second\cubed} \doteq \SI{82}{\kilo\watt}\text{.} \]

Všimnime si, že celá naša úvaha nezávisela od rýchlosti. Teda nech je rýchlosť akákoľvek, pre maximálne zrýchlenie vždy chceme udržiavať motor na týchto otáčkach. Ak zrýchľovať nechceme, väčšinou sa nám motor oplatí udržiavať na otáčkach nízkych, pretože má vtedy nízku spotrebu. Výkon nám stačí taký, aby sme prekonali odpor vzduchu a kolies. Preto by sme mali na prevodovke mať pri pokojnej jazde zaradený čo najvyšší stupeň (s najslabším prevodom).

Takže celá situácia by mala vyzerať nasledovne: Plyš drží otáčky nízko, až kým pomalé auto nedobehne. Následne preradí na taký prevod, ktorý zodpovedá jej momentálnej rýchlosti \(\SI{110}{\kilo\metre\per\hour}\) a zároveň 4000 otáčkam motora za minútu a šliapne na plynový pedál. Auto začne zrýchľovať, čiže rýchlosť \(v\) začne rásť. Aby sa motor stále držal v otáčkach najvyššieho výkonu, prevodový pomer \(\lambda\) zákonite musí pomaly klesať, čiže musí stupeň pomaly zvyšovať.

Toto celé dokonca platí aj vtedy, ak nemáme bezstupňovú prevodovku, ale iba obyčajnú päťstupňovú. Mimo obce jazdíme väčšinou na najvyššom stupni, ale pri predbiehaní sa oplatí podradiť, aby sme sa dostali do blízkosti otáčok, kde je výkon motora najväčší.