2. Mám nabité vzorové riešenie

Úloha chcela okrem iného zistiť, ako sa zvládnete popasovať s neintuitívnym výsledkom. Náboj uložený v batérii mobilu je totiž omnoho väčší, než aký sa prenesie pri údere blesku. Ako je to možné? Každý predsa vidí, že blesk je úkaz omnoho energetickejší, než nabíjanie telefónu. Nuž, energia ešte nie je všetko.

Blesk

Údaje pre blesk si ľahko nájdeme na internete. Už tu trochu narazíme, pretože uvádzané hodnoty sa značne líšia. Náš výpočet teda zjavne nebude veľmi presný. Preto sa uspokojíme s rádovým odhadom – zaujímať nás bude len počet cifier, ktorým vieme zapísať výsledok. Presnejšie to s takýmito vstupnými dátami aj tak nepôjde.

Zvoľme si teda jeden aspoň trochu dôveryhodne vyzerajúci zdroj, napríklad túto stránku. Tá hovorí, že pri priemernom blesku sa prenesie prúd približne \(\SI{30}{\kilo\ampere}\). Občas sa však vyskytne aj “superblesk”, kde priemerný prúd môže dosiahnuť až hodnotu \(\SI{300}{\kilo\ampere}\).

Vzduch je za normálnych okolností veľmi dobrý izolant, avšak ani on nevydrží napätia, aké vznikajú počas búrky. Bežne udávaná hodnota prierazného napätia pre suchý vzduch je asi \(\SI{3}{\kilo\volt\per\milli\metre}\), vo vlhkom vzduchu počas búrky ale stačí aj podstatne menej. Dĺžka blesku však bude obrovská, rádovo v kilometroch. K prierazu dôjde pri typickej hodnote napätia asi \(\SI{100}{\mega\volt}\). Hodnoty sa tu opäť môžu líšiť, ale opäť platí, že pri rádovom odhade nám to prekážať nebude.

Prenos náboja vraj trvá približne \(\SI{1}{\milli\second}\). Nenechajte sa pomýliť tým, že pri búrke často blesk vidíme dlhšie. Viditeľný úkaz však spôsobuje najmä rozpálený vzduch, prípadne ďalšie údery tým istým vodivým kanálom; pôvodné nosiče náboja sú však v tej chvíli už dávno na druhej strane. Priebeh prúdu síce nie je ani náhodou konštantný, v hrubom odhade sa však môžeme tváriť, že to tak je. Prenesený náboj potom vypočítame ako súčin prúdu a času, \[ Q = It \approx \SI{30}{\kilo\ampere} \cdot \SI{1}{\milli\second} = \SI{30}{\coulomb}\text{.} \]

Ďalej nás zaujíma energia. Tá je daná súčinom náboja a napätia. Obe veličiny poznáme, stačí ich teda vynásobiť: \[ E = QU \approx \SI{30}{\coulomb} \cdot \SI{100}{\mega\volt} = \SI{3}{\giga\joule}\text{,} \]

čiže \(\SI{3e9}{\joule}\). Nakoniec si môžeme ešte vyjadriť výkon. Energiu a čas poznáme, takže opäť pôjde iba o jednoduché dosadenie: \[ P = \frac{E}{t} \approx \frac{\SI{3e9}{\joule}}{\SI{1e-3}{\second}} = \SI{3}{\tera\watt}\text{.} \]

Batéria

Pri batériách sa naopak zvykne udávať ich celková kapacita a napätie. Pod kapacitou sa tu rozumie priamo náboj, aj keď sa neudáva v coulomboch, ale v miliampérhodinách.

Nabíjateľná Li-ion batéria, aké mávame v telefónoch, udržiava medzi kontaktami napätie približne \(\SI{3.7}{\volt}\). Kapacity sú samozrejme rôzne. Za bežnú hodnotu môžeme vziať \(\SI{2500}{\milli\ampere\hour}\) – takáto batéria dokáže dodávať prúd \(\SI{2500}{\milli\ampere}\) po dobu jednej hodiny. Tomu zodpovedá náboj \[ Q = It = \SI{2.5}{\ampere}\cdot\SI{3600}{\second} = \SI{9000}{\coulomb} \]

a energia \[ E = QU = \SI{9000}{\coulomb}\cdot\SI{3.7}{\volt} = \SI{33.3}{\kilo\joule}\text{,} \]

alebo teda približne \(\SI{3e4}{\joule}\). No a pre úplnosť si určíme aj výkon: vieme, že aj pri aktívnom používaní batéria vydrží aspoň deväť hodín, čo je približne práve tých \(\num{3e4}\) sekúnd, takže priemerný výkon bude rádovo \(\SI{1}{\watt}\).

Nuž, porovnanie energie nás asi neprekvapí – aj pred výpočtom by sme mali tušiť, že energia obsiahnutá v batérii mobilu by za žiadnych okolností nemohla vytvoriť jav porovnateľný s prírodným bleskom¹. Takých batérií by sme potrebovali minimálne \(\num{100000}\). Zato fakt, že vo vrecku bežne nosíme zdroj elektrického náboja o tri rády mocnejší než Perún, by nás už prekvapiť mohol. Keby sme nejakým magickým spôsobom dokázali dodať potrebné napätie, náboj z jednej batérie by nám vydržal na približne \(\num{1000}\) bleskov.

Mechanická analógia

Ak nám stále chýba ľahšie uchopiteľná predstava, môžeme nakoniec skúsiť spraviť analógiu s mechanickými objektami. Blesk môžeme prirovnať ku guľke z pušky, ktorá má málo hmoty, ale zato prenesie veľkú energiu a navyše za krátky čas. Batéria mobilu skôr pripomína závažie na kukučkových hodinách. Tá má omnoho viac hmoty, ale pomerne málo energie, a navyše ju uvoľňuje len veľmi pomaly.²

Náboj v našej analógii zodpovedá hmotnosti. Tá síce s energiou a výkonom súvisí, ale veľký náboj ešte nemusí nutne znamenať veľkú energiu, ak je napätie malé.