5. Veža na C4 vzorové riešenie

Aj keď sme sa v skutočnosti k veži aj s Jarom prešli, vzorové riešenie bude predpokladať, že ste takéto šťastie v živote nemali a museli ste sa s úlohou potrápiť čisto s použitím kombinácie počítača a mozgového myslenia. Na plný počet sa ale samozrejme kvalifikovali aj riešenia založené na meraniach v teréne.

Na vyriešenie úlohy použijeme dva voľne dostupné programy: Google Earth Pro a Stellarium. V Google Earth nájdeme patričné súradnice a presvedčíme sa, či sa tam veža ešte stále nachádza a nie je náhodou práve prikrytá mrakmi. Najnovšie snímky, žiaľ, nie sú práve najvhodnejšie, pretože tieň je krátky a veža odfotená príliš zboku. Preto použijeme staršie snímky z marca 2014.

Ponajprv odmeriame dĺžku tieňa veže. Google Earth na to má vhodný nástroj – treba však dať pozor, aby sme správne určili začiatok a koniec tieňa. Veža nie je jednorozmerná palička, takže je dôležité, aby sme merali dĺžku tieňa niektorej jej zvislej súčasti, napríklad jedného piliera, prípadne jej osi. Počiatok „pravítka“ teda myšou pripevníme k päte piliera, a koniec do miest, kde tieň piliera končí. Dĺžka tieňa nám tu vyjde približne \(\SI{107}{\metre}\).

Táto dĺžka sa však ešte výške veže nerovná. Aby ju sme mohli určiť podľa dĺžky tieňa, potrebujeme poznať uhlovú výšku Slnka nad obzorom v čase vytvorenia snímky. Na to by sa nám hodilo poznať presný čas. Nikto nám ho síce nepovie, ale opäť nám pomôže Google Earth.

Ako sa Zem krúti, Slnko opisuje po oblohe zhruba kruhovú dráhu. Polohu ľubovoľného nebeského telesa, teda aj Slnka, môžeme popísať vo sférickej súradnicovej sústave. Súradnice tu tvorí orientovaný uhol \(\theta\), meraný po kolmici od nejakej referenčnej roviny, potom orientovaný uhol \(\phi\) v tejto rovine, meraný od nejakého určeného význačného smeru, a napokon vzdialenosť \(r\).

Nám sa bude hodiť takzvaná topocentrická sústava, v ktorej je referenčnou rovinou miestny horizont a význačným smerom sever. Uhlovú vzdialenosť od horizontu, vrátane znamienka (kladné hore), budeme nazývať výškou nad obzorom. Uhlovú vzdialenosť od severu, meranú v smere hodinových ručičiek, zas nazveme azimutom. Vzdialenosť Slnka nás zaujímať nemusí a ani nebude.

Ďalej si uvedomíme, že v našich zemepisných šírkach azimut Slnka vždy rastie¹. Preto vieme povedať, že počas jedného dňa je medzi časom a slnečným azimutom jednoznačný, prostý vzťah. Google Earth prezradí, že dátum zhotovenia snímky je 22. marec 2014. Azimut Slnka poznáme, pretože musí byť presne opačný, ako je smer tieňa veže. Pri meraní nám program rovno povedal, že smer tieňa na zemskom povrchu je asi \(\ang{351}\). Azimut Slnka teda musí byť \(\ang{171}\). Otázku, ktorá nás zaujíma, môžeme teraz preformulovať takto: v akej výške nad obzorom bolo Slnko dňa 22. marca 2014 na mieste veže v momente, keď jeho azimut bol \(\ang{171}\)?

Na toto použijeme Stellarium². Miesto pozorovateľa nastavíme na súradnice zo zadania. Nadmorská výška nie je podstatná, pre poriadok však môžeme zadať hodnotu, ktorú ukáže Google Earth (\(\SI{110}{\metre}\)).

Následne nastavíme dátum na 22. 03. 2014. Azimutom Slnka priamo hýbať nevieme, môžeme ale meniť čas. Na oblohe nájdeme Slnko a sledujeme jeho azimut. Pomocou kláves j a l sa poposúvame v čase až do okamihu, keď je azimut približne rovný \(\ang{171}\).

Toto nastane o 11:12. Ostáva nám zaznamenať si okamžitú výšku Slnka nad horizontom, čo je \(\ang{41.7}\). No a zvyšok je už iba jednoduchá geometria. Dĺžka tieňa je \(l = \frac{h}{\tan{\phi}}\), a teda výška veže \(h\) je rovná \(l \tan{\phi}\). Po dosadení hodnôt získavame výsledok \[ h = \SI{107}{\metre} \cdot \tan{\ang{41.7}} \doteq \SI{95.3}{\metre}\text{.} \]

Nakoniec môžeme skúsiť overiť náš postup s inou snímkou, napríklad zo dňa 8. marca 2012. Dĺžka tieňa je tu \(\SI{130}{\metre}\) a jeho azimut \(\ang{354.5}\). Slnko dosiahlo opačný azimut, teda \(\ang{174.5}\), o 11:25 a jeho výška nad obzorom bola v tomto okamihu \(\ang{36.6}\). Po dosadení nám tentokrát vyjde, že výška veže je \[ h = \SI{130}{\metre} \cdot \tan{\ang{36.6}} \doteq \SI{96.5}{\metre}\text{.} \]

Skutočná výška veže je približne 97 metrov. Vidíme teda, že naša metóda je v rámci možností nášho merania veľmi presná.