5. Stabilný a labilný vzorové riešenie

Zadanie

Na vodnej hladine si pokojne plávajú dva rovnako veľké hranoly so štvorcovými podstavami. Prvý hranol leží na svojej dlhšej strane tak, že jeho vrchná a spodná stena sú vodorovné. Druhý hranol pláva otočený o \(\ang{45}\).

Prvý hranol si potichu šomre: „Pozri na neho, myslí si, že je hustý.“ V skutočnosti ale majú oba hranoly polovičnú hustotu oproti hustote vody. Sú obe polohy naozaj stabilné?

To že je poloha stabilná, vyžaduje okrem rovnovážnosti stavu splnenie dvoch ďalších podmienok. Jednou je vratnosť výslednej sily po malom vychýlení z rovnovážnej polohy. Po malom vychýlení telesa teda musí platiť, že výsledná sila je buď nulová, alebo má opačný smer ako má vychýlenie. Posunutím hocako natočeného hranolu nejakým vodorovným smerom sa nezmení ani hmotnosť hranola, ani objem jeho ponorenej časti, čo znamená, že výsledná sila zostane po takomto úkone nulová.

Ak naopak hranol zatlačíme alebo podvihneme v zvislom smere, objem ponorenej časti sa zväčší, resp. zmenší a dominanciu v dynamickom rozpoložení telesa získa vztlaková, resp. tiažová sila. Po krátkom vyhodnotení tejto zákonitosti sa dá dospieť k tomu, že v oboch prípadoch bude výsledná sila pôsobiť proti posunutiu, takže čo sa síl týka, obe polohy sú stabilné.

Druhá – a v našom prípade dôležitejšia – podmienka stability je analogická k tej prvej, avšak miesto posunutí a síl obsahuje to isté pre pootočenia a momenty síl. Tu je na mieste spomenúť, že keďže nás zaujímajú len a len pootočenia, oba z hranolov zostanú pri každom z nich vždy spolovice pod vodou a v silovej rovnováhe. Vďaka tomu môžeme s ťažiskom hranola narábať pri vyšetrovaní takejto otočnej stability ako s pevným bodom otáčania.

Otočenie okolo zvislej osi prakticky nič na situácii ani jedného z hranolov nezmení, takže nám ostáva povenovať sa otočeniami okolo osí vodorovných. Ak hranol pootočíme okolo vodorovnej osi kolmej na jeho vlastnú os, je pomerne ľahko (s pomocou obrázku) poznať, že v oboch prípadoch sa objem ponorenej časti na jednej strane ťažiska zväčší na úkor druhej tak, že takto vznikuvší moment sily vracia hranol späť do pôvodnej polohy (treba si uvedomiť, že tento efekt je umocnený podobnou zmenou čo sa týka ramien momentov síl).

Ako už čitateľ mohol vytušiť zo vzoráku či sugestívneho obrázku v zadaní, rozhodujúca chvíľa formovania charakteru čaká hranol pri pootočení okolo jeho vlastnej osi. Kvôli symetrii majú po pootoční z oboch polôh ponorené časti na oboch stranách osi otáčania rovnaký objem, takže rozsúdenie stability nebude také jednoduché ako v predošlom prípade.

Keďže objemy a teda aj časti vztlakovej sily sú na oboch stranách bodu otáčania rovnaké, rozhodujúcim faktorom budú ramená týchto síl. Mohlo by byť známe, že pôsobiskom (z povahy tejto sily len pomyselným) vztlakovej sily je geometrický stred vyšetrovaného objemu. Javí sa (nielen retrospektívne) ako rozumné, zaujímať sa len o nesymetrie ponorených častí, ktoré sú znázornené na obrázku, keďže vztlak poskytnutý vyseparovanou časťou vďaka symetrii nespôsobuje žiaden moment sily. Ostávajú nám teda v oboch prípadoch dva kúsočky, od ktorých závisí výsledný smer momentu sily.

Ak pootočíme hranol vo „vodorovnej“ polohe, vidíme že nesymetrický výčnelok naľavo je vo vodorovnom smere (kolmom na pôsobenie vztlakovej sily) ďalej od osi otáčania než kúsok napravo. To značí že výsledný moment sily začne hranol roztáčať v smere hodinových ručičiek, čo nie je vratným účinkom ani náhodou.

Naopak ak je hranol v opačnej polohe, dispozícia výčnelkov po (nie opačnom!) pootočení je opačná, teda moment sily bude pôsobiť opačným smerom, a je naopak v porovnaní predchádzajúcim (opačným) prípadom vratný. Táto poloha narozdiel od svojej konkurencie obstála vo všetkých smerodajných testoch stability, takže sa už nebudeme dalej opálať s uznaním tejto jej vlastnosti.